已知圆锥的顶点为，底面圆的直径的长度为4，母线长为.

1. 已知圆锥的顶点为 $\text{[math]}$ ，底面圆 $\text{[math]}$ 的直径 $\text{[math]}$ 的长度为4，母线长为 $\text{[math]}$ .

(1) 如图1所示，若 $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 上异于点 $\text{[math]}$ 的任意一点，当三角形 $\text{[math]}$ 的面积达到最大时，求二面角 $\text{[math]}$ 的大小；

(2) 如图2所示，若 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，一只蚂蚁从点 $\text{[math]}$ 出发，在圆锥的侧面沿着最短路径爬行一周到达 $\text{[math]}$ 点，在运动过程中，上坡的路程是下坡路程的3倍，求线段 $\text{[math]}$ 的长度.（上坡表示距离顶点 $\text{[math]}$ 越来越近）

【考点】

利用数量积判断平面向量的垂直关系; 与二面角有关的立体几何综合题; 三角形中的几何计算;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，在矩形纸片 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，沿 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 折起，使点 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ 的位置，点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 的射影 $\text{[math]}$ 落在边 $\text{[math]}$ 上．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长度；

(2) 若 $\text{[math]}$ 使棱 $\text{[math]}$ 上的一个动点，是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值为 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的长度；若不存在，说明理由．

解答题普通

2. 如图，多面体 $\text{[math]}$ 中，面 $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ，面 $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的大小；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

解答题普通

3. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．

（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；

（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．

解答题困难