已知，，函数.

1. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

(2) 设 $\text{[math]}$ .记M为 $\text{[math]}$ 的所有零点组成的集合， $\text{[math]}$ 为M的子集，它们各有n个元素，且 $\text{[math]}$ .设. $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .证明： $\text{[math]}$ .

【考点】

利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数最大（小）值; 基本不等式在最值问题中的应用; 函数零点存在定理;

【答案】

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解答题困难

1. 双曲余弦函数 $\text{[math]}$ ，双曲正弦函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 求函数 $\text{[math]}$ 的单调增区间；

(2) 若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最小值是 $\text{[math]}$ ，求实数a的值；

(3) 对任意 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数m的取值范围．

解答题困难

2. 已知定义：函数 $\text{[math]}$ 的导函数为 $\text{[math]}$ ，我们称函数 $\text{[math]}$ 的导函数 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的二阶导函数，如果一个连续函数 $\text{[math]}$ 在区间I上的二阶导函数 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为I上的凹函数；二阶导函数 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为I上的凸函数.若 $\text{[math]}$ 是区间I上的凹函数，则对任意的 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，有不等式 $\text{[math]}$ 恒成立（当且仅当 $\text{[math]}$ 时等号成立）.若 $\text{[math]}$ 是区间I上的凸函数，则对任意的 $\text{[math]}$ ，有不等式 $\text{[math]}$ 恒成立（当且仅当 $\text{[math]}$ 时等号成立）.已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 试判断 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 为凹函数还是凸函数?

(2) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值；

(3) 已知 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数a的所有可能取值.

解答题困难

3. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的最小值；

(2) 若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上是减函数，求实数a的取值范围．

解答题普通