如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为．

1. 如图 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别是边长为 $\text{[math]}$ 的等边 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 上的动点，点 $\text{[math]}$ 从顶点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从顶点 $\text{[math]}$ 同时出发，且它们的速度都为 $\text{[math]}$ ．

(1) 连接 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，则在 $\text{[math]}$ 运动的过程中， $\text{[math]}$ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；

(2) 试求何时 $\text{[math]}$ 是直角三角形？

(3) 如图 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 在运动到终点后继续在射线 $\text{[math]}$ 上运动，直线 $\text{[math]}$ 交点为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．

【考点】

三角形的外角性质; 等边三角形的性质; 含30°角的直角三角形; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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解答题普通

1. 如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 厘米的等边三角形，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别从顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 同时出发，沿线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 运动，且它们的速度都为 $\text{[math]}$ 厘米 $\text{[math]}$ 秒．当点 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点停止运动．设点 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ ．

(1) 当运动时间为 $\text{[math]}$ 秒时， $\text{[math]}$ 的长为________厘米， $\text{[math]}$ 的长为________厘米； $\text{[math]}$ 用含 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$

(2) 当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 是直角三角形；

(3) 如图 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，相交于点 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在运动的过程中， $\text{[math]}$ 会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．

解答题普通

2. 如图，在等边 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上各取一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的度数．

解答题普通

3. 如图，点P、Q分别是等边 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．

(1) 如图1，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图1，当点P、Q分别在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 边上运动时， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点M， $\text{[math]}$ 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；

(3) 当点P、Q在射线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上运动时，直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于M， $\text{[math]}$ 的大小是否变化？请画出图形，并直接写出 $\text{[math]}$ 的度数．

解答题普通