定义：①如果关于的一元二次方程（a，b，c为常数且）有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．②如果关于的一元二次方程（a，b，c为常数且）有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”．

1. 定义：①如果关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ （a，b，c为常数且 $\text{[math]}$ ）有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．

②如果关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ （a，b，c为常数且 $\text{[math]}$ ）有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”．

(1) 请你判断：方程 $\text{[math]}$ 是（填“倍根方程”或“方根方程”）；

(2) 若一元二次方程 $\text{[math]}$ 是“倍根方程”，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 根据探究，小明想设计一个一元二次方程 $\text{[math]}$ ，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？

【考点】

因式分解法解一元二次方程; 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）;

【答案】

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解答题普通

1. 定义：如果关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ （a，b，c均为常数， $\text{[math]}$ ）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．

(1) 下列方程中，是“邻根方程”的是______（填序号）．

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ．

(2) 若 $\text{[math]}$ 是“邻根方程”，求n的值．

(3) 若一元二次方程 $\text{[math]}$ （b，c均为常数）为“邻根方程”，直接写出b，c满足的数量关系．

解答题普通

2. 关于x的方程 $\text{[math]}$

(1) 当k为何值时方程有实数根．

(2) 若方程的两实数根为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且满足 $\text{[math]}$ ，求k的值

解答题普通

3. 定义：若关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根为 $\text{[math]}$ ，分别以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为横坐标和纵坐标得到点 $\text{[math]}$ 则称点 $\text{[math]}$ 为该一元二次方程的衍生点．

(1) 若方程为 $\text{[math]}$ ，写出该方程的衍生点 $\text{[math]}$ 的坐标．

(2) 若关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的衍生点为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 向 $\text{[math]}$ 轴和 $\text{[math]}$ 轴作垂线，两条垂线与坐标轴围成长方形的面积是6，求 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 是否存在b，c，使得无论 $\text{[math]}$ 为何值，关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的衍生点 $\text{[math]}$ 始终在直线 $\text{[math]}$ 上？若存在，请直接写出b，c的值若不存在，请说明理由．

解答题普通