在矩形中，，，点P在折线上，以为边向下作等边三角形，射线交线段于点Q，连接．

1. 在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P在折线 $\text{[math]}$ 上，以 $\text{[math]}$ 为边向下作等边三角形 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点Q，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 当点Q与点B重合时，线段 $\text{[math]}$ 的长为__________；

(2) 当点M落在边 $\text{[math]}$ 上时，求等边三角形 $\text{[math]}$ 的面积；

(3) 当P在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 是直角三角形时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(4) 当点Q将线段 $\text{[math]}$ 分成两部分线段长度比为 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ ．

【考点】

等边三角形的性质; 矩形的性质; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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解答题普通

1. 如图1，木匠陈师傅现有一块五边形 $\text{[math]}$ 木板，它是矩形 $\text{[math]}$ 木板用去 $\text{[math]}$ 后的余料， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上一点．陈师傅打算利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在 $\text{[math]}$ 上．

(1) [初步探究]

当 $\text{[math]}$ 时．

①若截取的矩形有一边是 $\text{[math]}$ ，则截取的矩形面积的最大值是______；

②若截取的矩形有一边是 $\text{[math]}$ ，则截取的矩形面积的最大值是______；

(2) [问题解决]

如图2，陈师傅还有另一块余料， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的距离为4，若以 $\text{[math]}$ 所在直线为 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 中点为原点构建直角坐标系，则曲线 $\text{[math]}$ 是反比例函数 $\text{[math]}$ 图象的一部分，陈师傅想利用该余料截取一块矩形 $\text{[math]}$ 材料，其中一条边在 $\text{[math]}$ 上，所截矩形 $\text{[math]}$ 材料面积是 $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通

2. 如图，已知四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，O为坐标原点，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象交边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求反比例函数 $\text{[math]}$ 的表达式；

(2) 如图，过点B的直线 $\text{[math]}$ 交反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象于点E，交y轴于点F，若 $\text{[math]}$ ，求矩形 $\text{[math]}$ 的面积．

解答题普通

如图，CD是等边△ABC的角平分线，延长CB到E，使BE＝BD，F是AE的中点，已知CD＝6 cm，求DF的长．

解答题普通