我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等．

1. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为正整数）的展开式（按 $\text{[math]}$ 的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应 $\text{[math]}$ 展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着 $\text{[math]}$ 展开式中的系数等等．

(1) $\text{[math]}$ 的展开式共有______项．

(2) $\text{[math]}$ 的展开式共有______项， $\text{[math]}$ 的展开式各项系数和是______．

(3) 利用上面的规律计算： $\text{[math]}$ ______．

(4) 下列说法：① $\text{[math]}$ 展开式各项系数之和为64；② $\text{[math]}$ 展开式各项中，系数最大的项是第四项和第五项；③ $\text{[math]}$ 展开式中含 $\text{[math]}$ 的项的系数是2022．④用此规律解决实际问题：今天是星期四，再过7天还是星期四，那么再过 $\text{[math]}$ 天是星期五；正确的有______．

【考点】

多项式乘多项式;

【答案】

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解答题普通

1. 杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如下图所示．

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

…

完成下列任务：

(1) 写出 $\text{[math]}$ 的展开式．

(2) 计算： $\text{[math]}$ ．

解答题普通

2. 把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子．如图，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个一组邻边长分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长方形，若用不同的方法计算这个长方形面积，你能发现什么结论？

(1) 用等式表示出来为______；

(2) 已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为正整数，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

3. 小明用2张①型卡片、2张②型卡片和1张③型卡片拼成了如图所示的大长方形 $\text{[math]}$ ．其中①型卡片是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形，②型卡片是长方形，③型卡片是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形．

(1) 请用含 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的代数式分别表示出大长方形 $\text{[math]}$ 的长 $\text{[math]}$ 和宽 $\text{[math]}$ ；

(2) 请用含 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的代数式表示出拼成的这个大长方形 $\text{[math]}$ 的面积，进行化简：并求当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时该大长方形的面积．

解答题普通