一宇航员抵达一半径为的星球表面后，为了测定该星球的质量，做如下的实验，取一根细线穿过光滑的细直管，细线一端栓一质量为的砝码，另一端连在一固定的测力计上，手握细线直管抡动砝码，使它在竖直平面内做完整的圆周运动，停止抡动细直管。砝码可继续在同一竖直平面内做完整的圆周运动。如图所示，此时观察测力计得到当砝码运动到圆周的最低点和最高点两位置时，测力计得到当砝码运动到圆周的最低点和最高点两位置时，测力计的读数差为。已知引力常量为，试根据题中所提供的条件和测量结果，求：

1. 一宇航员抵达一半径为 $\text{[math]}$ 的星球表面后，为了测定该星球的质量 $\text{[math]}$ ，做如下的实验，取一根细线穿过光滑的细直管，细线一端栓一质量为 $\text{[math]}$ 的砝码，另一端连在一固定的测力计上，手握细线直管抡动砝码，使它在竖直平面内做完整的圆周运动，停止抡动细直管。砝码可继续在同一竖直平面内做完整的圆周运动。如图所示，此时观察测力计得到当砝码运动到圆周的最低点和最高点两位置时，测力计得到当砝码运动到圆周的最低点和最高点两位置时，测力计的读数差为 $\text{[math]}$ 。已知引力常量为 $\text{[math]}$ ，试根据题中所提供的条件和测量结果，求：

(1) 该星球表面重力加速度；

(2) 该星球的质量 $\text{[math]}$ 。

(3) 该星球的第一宇宙速度

【考点】

万有引力定律; 第一、第二与第三宇宙速度; 机械能守恒定律;

【答案】

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解答题普通

1. 建立物理模型对实际问题进行分析，是重要的科学思维方法。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。假设地球可视为一个质量分布均匀且密度为ρ的球体，地球的半径为R，引力常量为G，不考虑地球自转的影响。

(1) 试推导第一宇宙速度v的表达式；

(2) 如图-1所示，假设沿地轴的方向凿通一条贯穿地球南北两极的小洞，把一个质量为m的小球从北极的洞口由静止状态释放后，小球能够在洞内运动，不考虑其它星体的作用，以地心为原点，向北为正方向建立x轴，在图-2中画出小球所受引力F随x（-R≤x≤R）变化的图像，求出小球在洞内运动过程中的最大速度v_m；

(3) 在科幻电影《流浪地球》中有这样一个场景：地球在木星的强大引力作用下，加速向木星靠近，当地球与木星球心之间的距离小于某个值d时，地球表面物体就会被木星吸走，进而导致地球可能被撕裂。这个临界距离d被称为“洛希极限”。已知，木星和地球的密度分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，木星和地球的半径分别为R₀和R，且 $\text{[math]}$ 。请据此近似推导木星使地球产生撕裂危险的临界距离d——“洛希极限”的表达式。【提示：当x很小时， $\text{[math]}$ 。】

解答题困难

2. 2023年5月，中国载人月球探测工程登月阶段任务已启动实施，计划在2030年前实现中国人首次登陆月球。2024年4月，海南文昌载人月球探测发射场建设全面启动，我国宇航员与月球的距离更近了。已知万有引力常量为 $\text{[math]}$ ，月球表面的重力加速度为 $\text{[math]}$ ，月球的平均密度为 $\text{[math]}$ ，月球可视为质量分布均匀的球体且不考虑月球的自转。求：

(1) 月球的半径 $\text{[math]}$ 及质量 $\text{[math]}$ ；

(2) 探月卫星绕月球做匀速圆周运动的最大速度 $\text{[math]}$ 。

解答题普通

3. 有人设想建设贯通地球弦线的光滑列车隧道：质量为m的列车不需要引擎，从入口的A点由静止开始穿过隧道到达另一端的B点，O'为隧道的中点，O'与地心O的距离为 $\text{[math]}$ ，如图所示。假设地球是质量均匀分布的球体，地球的半径为R，表面的重力加速度为g，忽略地球的自转。已知质量均匀分布的球壳对球壳内物体的引力为零，P点到O'的距离为x，求：

(1) 列车在P点受到引力的大小与列车在地面受到重力大小mg的比值；

(2) 列车在P点沿隧道AB方向的加速度大小；

(3) 列车在运动中的最大速度的大小。

解答题困难