【问题背景】已知抛物线（a，b为常数，）的顶点为，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点.【构建联系】（1）如图1，当，与交于点时，求该抛物线顶点的坐标；（2）如图2，当时，求的值；【深入探究】（3）如图3，若是抛物线上的点，且点在第四象限，，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值.

1. 【问题背景】

已知抛物线 $\text{[math]}$ （a，b为常数， $\text{[math]}$ ）的顶点为 $\text{[math]}$ ，对称轴与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在抛物线上， $\text{[math]}$ 为坐标原点.

【构建联系】

（1）如图1，当 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 时，求该抛物线顶点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（2）如图2，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；

【深入探究】

（3）如图3，若 $\text{[math]}$ 是抛物线上的点，且点 $\text{[math]}$ 在第四象限， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 取得最小值为 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值.

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 勾股定理;

【答案】

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解答题困难

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 已知二次函数图象的顶点坐标为 $\text{[math]}$ ，且经过点 $\text{[math]}$ ，求这个二次函数的表达式．

解答题容易

2. 已知抛物线的顶点是 $\text{[math]}$ ，形状与 $\text{[math]}$ 相同，但开口方向相反，则该抛物线解析式为．

填空题容易

3. 已知二次函数的图象以 $\text{[math]}$ 为顶点，且过点 $\text{[math]}$ ，求该函数的解析式．

解答题容易

1. 【问题背景】

【构建联系】

（1）如图1，当 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 时，求该抛物线顶点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（2）如图2，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；

【深入探究】

解答题困难

2. “距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知 $\text{[math]}$ 是平面直角坐标系内的两点，我们将 $\text{[math]}$ 称作P，Q间的“L型距离”，记作 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．

已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图像经过平面直角坐标系内的 $\text{[math]}$ 三点，其中 $\text{[math]}$ 两点的坐标为 $\text{[math]}$ ，点C在直线 $\text{[math]}$ 上运动，且满足 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ ；

(2) 求抛物线 $\text{[math]}$ 的表达式；

(3) 已知 $\text{[math]}$ 是该坐标系内的一个一次函数．

①若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 图像上的两个动点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值；

②当 $\text{[math]}$ 时，若函数 $\text{[math]}$ 的最大值与最小值之和为8，求实数t的值．（补充两点间距离公式：平面直角坐标中两点 $\text{[math]}$ ），则 $\text{[math]}$ ．

解答题困难

3. 已知抛物线y＝ax²﹣bx+3经过点A(1，2)，B(2，3)．

(1)求此抛物线的函数解析式．

(2)判断点B(﹣1，﹣4)是否在此抛物线上．

解答题普通

1. 已知 $\text{[math]}$ 表示不超过实数x的最大整数，函数 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示，若方程 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 有2个解，则a的取值范围是（　　）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题困难

2. 如图，网格中的小正方形边长均为1， $\text{[math]}$ 的三个顶点均在格点上，则AC的长度为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. 25

单选题容易

3. 为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于 $\text{[math]}$ 轴对称， $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ ，最低点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，高 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则右轮廓 $\text{[math]}$ 所在抛物线的解析式为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

1. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，顶点为 $\text{[math]}$ ．其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 直接写出该抛物线的解析式；

(2) 如图1，连接 $\text{[math]}$ ，在第三象限内抛物线上找点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 如图2， $\text{[math]}$ 为抛物线上任意一点，过 $\text{[math]}$ 做直线 $\text{[math]}$ 与抛物线有唯一交点（ $\text{[math]}$ 不与 $\text{[math]}$ 轴平行）交抛物线对称轴于 $\text{[math]}$ 点， $\text{[math]}$ 为对称轴上一点，若始终满足 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．

解答题困难

2. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点B，且与x轴交于点 $\text{[math]}$ 和点E．

(1) 求抛物线的表达式：

(2) 若P是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP，PE，当四边形OCPE的面积最大时，求点P的坐标，此时四边形OCPE的最大面积是多少；

(3) 若N是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在一点M，使以点C，D，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．

解答题困难

3. 已知：在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的表达式和顶点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 点 $\text{[math]}$ 在抛物线对称轴上， $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 抛物线的对称轴和 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线交原抛物线为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求新抛物线的表达式．

计算题困难

1. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\text{[math]}$ 的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段 $\text{[math]}$ 上一点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，O点恰好落在对角线 $\text{[math]}$ 上的点P处，反比例函数 $\text{[math]}$ 经过点B ．二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过 $\text{[math]}$ 、G、A三点，则该二次函数的解析式为．（填一般式）

填空题普通

如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE= $\text{[math]}$ ， A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；
（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；
（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．

证明题困难