如图所示，质量分别为m、3m的小球甲、乙置于足够长的光滑水平面上并处于静止状态。某时刻，通过水平力第1次给小球甲一水平向右的瞬时冲量，使其获得水平向右的速度，从甲、乙两小球发生第1次弹性碰撞开始，经过时间第2次给小球甲另一水平向右的瞬时冲量，使小球甲恢复到速度，此后，每当两小球碰撞结束时，总是再经过时间给小球甲某一水平向右的瞬时冲量，小球甲总能恢复到速度，如此循环……所有碰撞都是一维弹性碰撞，且碰撞时间均忽略不计，忽略空气阻力。求：

1. 如图所示，质量分别为m、3m的小球甲、乙置于足够长的光滑水平面上并处于静止状态。某时刻，通过水平力第1次给小球甲一水平向右的瞬时冲量，使其获得水平向右的速度 $\text{[math]}$ ，从甲、乙两小球发生第1次弹性碰撞开始，经过时间 $\text{[math]}$ 第2次给小球甲另一水平向右的瞬时冲量，使小球甲恢复到速度 $\text{[math]}$ ，此后，每当两小球碰撞结束时，总是再经过时间 $\text{[math]}$ 给小球甲某一水平向右的瞬时冲量，小球甲总能恢复到速度 $\text{[math]}$ ，如此循环……所有碰撞都是一维弹性碰撞，且碰撞时间均忽略不计，忽略空气阻力。求：

(1) 第1次碰撞后瞬时，甲、乙两小球的速度；

(2) 从第1次碰撞到第2次碰撞所经过的时间，以及第2次碰撞的位置到第1次碰撞位置的距离；

(3) 从静止开始到第n次碰撞结束过程中，小球甲受到的水平向右的总冲量大小。

【考点】

碰撞模型;

【答案】

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解答题普通

1. 如图甲所示，水平轨道ABEF之间有一凹槽，凹槽中放置一长度与凹槽相同且不粘连的长木板，其质量m₃ = 2m，长木板的上表面与轨道AB和EF齐平，并固定一轻质半圆管道CD，其半径为R。忽略管的内径，O为管道的圆心。质量为m₂ = m的物块2静止在长木板上表面的左端，一质量为 $\text{[math]}$ 的物块1以一定的初速度向右运动，与物块2发生弹性碰撞，1和2均可视为质点，物块2进入管道后恰能到达最高点，重力加速度取g，不计一切摩擦。

(1) 求物块1的初速度大小v₀；

(2) 物块2运动到管形轨道内的某位置时，与管内壁和外壁均无相互作用力，求该位置与O点连线和OD之间夹角的余弦值；

(3) 若将轻质半圆管道换成轻质半圆轨道，如图乙所示，物块2经碰撞后以 $\text{[math]}$ 的速度进入C点且能通过半圆轨道的最高点D，为使长木板不与凹槽底部脱离，求k的取值范围。

解答题困难

2. 如图，半径为R=1.8m的四分之一光滑圆轨道固定在竖直平面内，其末端与水平地面PM相切于P点，PM的长度d=2.7m。一长为L=3.3m的水平传送带以恒定速率v₀=1m/s逆时针转动，其右端与地面在M点无缝对接。物块a从圆轨道顶端由静止释放，沿轨道下滑至P点，再向左做直线运动至M点与静止的物块b发生弹性正碰，碰撞时间极短。碰撞后b向左运动到达传送带的左端N。已知a的质量为m_a=1kg，b的质量为m_b=2kg，它们均可视为质点。a、b与地面及传送带间的动摩擦因数均为μ=0.5，取重力加速度大小g=10m/s²。求：

(1) a运动到圆轨道底端时轨道对它的支持力大小；

(2) b从M运动到N的时间。

解答题普通

3. 如图所示为一轨道模型图，由水平轨道AB、固定凹槽BGHC（GH足够长）、半圆轨道DE（D是最高点，E是最低点，C在D的正下方，且C和D间隙不计）组成，其中半圆轨道DE的半径R大小可调，所有轨道及凹槽均光滑。长度L=0.5m的水平传送带EF与DE平滑衔接。质量M=0.2kg的平板紧靠凹槽侧璧BG放置，平板上表面与ABC平面齐平。质量m=0.1kg的小滑块（可视为质点）被弹簧弹出后，滑上平板并带动平板一起运动，平板与侧璧CH相撞后将原速弹回。已知ABC平面与水平地面高度差h=1m，传送带顺时针传送速度v=1m/s，滑块与平板和传送带之间的动摩擦因数均为μ=0.4。

(1) 调节半圆轨道DE的半径为R=0.4m，被弹出的滑块恰好能滑过凹槽，且恰好不脱离圆轨道DE，求：

①小滑块沿圆轨道滑过E点时受到的支持力F_N；

②平板的长度及弹簧释放的弹性势能E_p。

(2) 在保持问（1）中其他条件不变的情形下，仅改变R大小，滑块从F飞出落至地面，水平位移为x，求x的最大值。

解答题困难