如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，，，抛物线经过点B，且与x轴交于点和点E．

1. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点B，且与x轴交于点 $\text{[math]}$ 和点E．

(1) 求抛物线的表达式：

(2) 若P是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP，PE，当四边形OCPE的面积最大时，求点P的坐标，此时四边形OCPE的最大面积是多少；

(3) 若N是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在一点M，使以点C，D，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 勾股定理; 二次函数-面积问题; 二次函数-特殊四边形存在性问题;

【答案】

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解答题困难

1. “距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知 $\text{[math]}$ 是平面直角坐标系内的两点，我们将 $\text{[math]}$ 称作P，Q间的“L型距离”，记作 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．

已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图像经过平面直角坐标系内的 $\text{[math]}$ 三点，其中 $\text{[math]}$ 两点的坐标为 $\text{[math]}$ ，点C在直线 $\text{[math]}$ 上运动，且满足 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ ；

(2) 求抛物线 $\text{[math]}$ 的表达式；

(3) 已知 $\text{[math]}$ 是该坐标系内的一个一次函数．

①若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 图像上的两个动点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值；

②当 $\text{[math]}$ 时，若函数 $\text{[math]}$ 的最大值与最小值之和为8，求实数t的值．（补充两点间距离公式：平面直角坐标中两点 $\text{[math]}$ ），则 $\text{[math]}$ ．

解答题困难

2. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求该抛物线的解析式．

(2) 直接写出它的开口方向、对称轴．

(3) 若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均在该抛物线上，则 $\text{[math]}$ __________ $\text{[math]}$ （选填：“>”“=”或“﹤”）

解答题普通

3. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 求抛物线的对称轴（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；

(3) 点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在抛物线上，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题普通