已知关于x的一元二次方程有两个实数根．

1. 已知关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个实数根．

(1) 求m的取值范围；

(2) 如果方程的两个实数根为x₁ ， x₂ ，且 $\text{[math]}$ ，求m的值．

【考点】

一元二次方程根的判别式及应用; 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）;

【答案】

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解答题普通

1. 已知关于x的一元二次方程x²﹣2（m﹣1）x+m²＝0有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）设此方程的两个根分别为x₁ ， x₂ ，若x₁²+x₂²＝8﹣3x₁x₂ ，求m的值．

解答题普通

2. 阅读材料：

材料1：一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两根 $\text{[math]}$ 有如下的关系（韦达定理）： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法：

方法1：利用根的定义构造．

例如，如果实数m、n满足 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则可将m、n看作是方程 $\text{[math]}$ 的两个不相等的实数根．

方法2：利用韦达定理逆向构造．

例如，如果实数a、b满足 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则可以将a、b看作是方程 $\text{[math]}$ 的两实数根．

根据上述材料解决下面问题：

(1) 已知实数m、n满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 值．

(2) 已知实数a、b、c满足 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求c的最大值．

解答题普通

3. 已知关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$

(1) 若这个方程有两个相等的实数根，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若这个方程有一个根是 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值及另外一个根．

解答题普通