如图，直线：与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点．

1. 如图，直线： $\text{[math]}$ 与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 $\text{[math]}$ 经过B、C两点．

(1) 求抛物线的表达式．

(2) 若 M 是直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上的一动点，当 $\text{[math]}$ 面积最大时，请求出点 M的坐标．

(3) 新定义：若 E 是抛物线对称轴上一动点，把 $\text{[math]}$ 绕点 E 旋转 $\text{[math]}$ 点O 的对应点为G，若点 G 恰好落在抛物线上，则称这样的点 E 为“好点”，请直接写出所有“好点”E 的坐标．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 旋转的性质; 二次函数-面积问题;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ ，点M是该抛物线的顶点，将线段 $\text{[math]}$ 绕着点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，取线段 $\text{[math]}$ 中点C，过点C作y轴的垂线，交该抛物线从左到右依次为点D、E，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

(1) 求此抛物线的函数解析式；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 直接写出四边形 $\text{[math]}$ 的面积＝______．

解答题普通

2. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点 $\text{[math]}$ 在抛物线上．

(1) 求抛物线的顶点坐标；

(2) 若将直线 $\text{[math]}$ 绕点D顺时针旋转75°得到直线 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的解析式；

(3) 若点P是抛物线对称轴左侧上的动点，P的横坐标为m，过P作x轴的平行线交抛物线另一点为M，过P作x轴的垂线交x轴于点N，直线 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点E．则是否存在m的值，使点E为线段 $\text{[math]}$ 的中点？若存在，求出此时m的值，若不存在，请说明理由．

解答题困难

3. 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 的解析式为 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴分别交于点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，抛物线的对称轴为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 动点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上方的抛物线上，点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的平行线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的平行线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 值；

(3) 点 $\text{[math]}$ 是坐标平面内一点，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 沿逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 后，得到 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对应点分别是点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出此时点 $\text{[math]}$ 的横坐标．

解答题普通