《九章算术》中对一些特殊的几何体有特殊的称谓，例如，将底面为直角三角形的直三棱柱叫堑堵，将一个堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥，即四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体，即三棱锥）．在如图所示的堑堵中，已知，若鳖臑的体积等于12，求：

1. 《九章算术》中对一些特殊的几何体有特殊的称谓，例如，将底面为直角三角形的直三棱柱叫堑堵，将一个堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥，即四棱锥 $\text{[math]}$ ）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体，即三棱锥 $\text{[math]}$ ）．在如图所示的堑堵 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ，若鳖臑 $\text{[math]}$ 的体积等于12，求：

(1) 求堑堵 $\text{[math]}$ 的侧棱长；

(2) 求阳马 $\text{[math]}$ 的体积；

(3) 求阳马 $\text{[math]}$ 的表面积．

【考点】

棱柱的结构特征; 棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用; 锥体的体积公式及应用;

【答案】

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解答题容易

1. 据《黑鞑事略》记载：“穹庐有二样：燕京之制，用柳木为骨，正如南方罘思，可以卷舒，面前开门，上如伞骨，顶开一窍，谓之天窗，皆以毡为衣，马上可载.草地之制，以柳木组定成硬圈，径用毡挞定，不可卷舒，车上载行.”随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替.如图1，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图2，已知该圆锥的高为3米，圆柱的高为4米，底面直径为8米.求该蒙古包的侧面积.

解答题普通

2. 如图，正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为6，M是 $\text{[math]}$ 的中点，点N在棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ .

(1) 作出过点D，M，N的平面截正方体 $\text{[math]}$ 所得的截面，写出作法；

(2) 求（1）中所得截面的周长.

解答题普通

3. 如图1，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，平面 $\text{[math]}$ 将三棱柱分成两个新的直三棱柱（如图2，3所示）．

(1) 若两个新直三棱柱的表面积之和为72，求实数 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 将图2和图3两个直三棱柱重新组合成一个直四棱柱，若组成的所有直四棱柱的表面积都小于132，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题普通