设自然数，若由n个不同的正整数，， …，构成的集合满足：对集合S的任何两个不同的非空子集A、B，A中所有元素之和与B中所有元素之和均不相等，则称集合S具有性质P．

1. 设自然数 $\text{[math]}$ ，若由n个不同的正整数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 构成的集合 $\text{[math]}$ 满足：对集合S的任何两个不同的非空子集A、B，A中所有元素之和与B中所有元素之和均不相等，则称集合S具有性质P．

(1) 试分别判断在集合 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是否具有性质P，不必说明理由；

(2) 已知集合 $\text{[math]}$ 具有性质P．

①记 $\text{[math]}$ ，求证：对于任意正整数 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ；

②令 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 在（2）的条件下，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

【考点】

子集与真子集; 集合中元素的个数问题; 不等式的证明;

【答案】

您现在未登录，无法查看试题答案与解析。登录

解答题普通

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 中元素的个数为 $\text{[math]}$ ，且存在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 子集.

(1) 若 $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ 的所有 $\text{[math]}$ 子集；

(2) 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 子集，且对任意的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的任意一个元素个数为 $\text{[math]}$ 的子集都是 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 子集，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

解答题普通

2. 集合M的若干个子集的集合称为集合M的一个子集族．对于集合{1，2，3…n}的一个子集族D满足如下条件：若A∈D，B⊆A，则B∈D，则称子集族D是“向下封闭”的．

（Ⅰ）写出一个含有集合{1，2}的“向下封闭”的子集族D并计算此时 $\text{[math]}$ 的值（其中|A|表示集合A中元素的个数，约定|ϕ|=0； $\text{[math]}$ 表示对子集族D中所有成员A求和）；

（Ⅱ）D是集合{1，2，3…n}的任一“向下封闭的”子集族，对∀A∈D，记k=max|A|， $\text{[math]}$ （其中max表示最大值），

（ⅰ）求f（2）；

（ⅱ）若k是偶数，求f（k）．

解答题普通