第22届亚运会于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这届运动会大量使用了高科技.为选拔合适的志愿者，参选者需参加测试，测试分为初试和复试；初试从6道题随机选择4道题回答，每一题答对得1分，答错得0分，初试得分大于等于3分才能参加复试，复试每人都回答A，B，C三道题，每一题答对得2分，答错得0分.已知在初试6题中甲有4题能答对，乙有3题能答对；复试中的三题甲每题能答对的概率都是，乙每题能答对的概率都是.

1. 第22届亚运会于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这届运动会大量使用了高科技.为选拔合适的志愿者，参选者需参加测试，测试分为初试和复试；初试从6道题随机选择4道题回答，每一题答对得1分，答错得0分，初试得分大于等于3分才能参加复试，复试每人都回答A，B，C三道题，每一题答对得2分，答错得0分.已知在初试6题中甲有4题能答对，乙有3题能答对；复试中的三题甲每题能答对的概率都是 $\text{[math]}$ ，乙每题能答对的概率都是 $\text{[math]}$ .

(1) 求甲、乙至少一人通过初试的概率；

(2) 若测试总得分大于等于6分为合格，问参加完测试甲、乙合格的概率谁更大.

【考点】

古典概型及其概率计算公式;

【答案】

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解答题普通

1. 新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A、B、C、D四个选项，原则上至少有2个正确选项，至多有3个正确选项，题目要求：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.”其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分.

(1) 若某道多选题的正确答案是BD，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项，并求该考生得0分的概率；

(2) 若某道多选题的正确答案是ABD，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项；在某考生此题已得正分的条件下，求该考生得2分的概率；

(3) 若某道多选题的正确答案是2个选项的概率是 $\text{[math]}$ ，一考生只能判断出A选项是正确的，其他选项均不能判断正误，给出以下方案，请你以得分的数学期望作为判断依据，帮该考生选出恰当方案：

方案一：只选择A选项；

方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项；

方案三：选择A选项的同时，再随机选择两个选项.

解答题普通

2. 在某次数学竞赛的初赛中，参赛选手需要从4道“圆锥曲线”和3道“函数与导数”共7道不同的试题中依次抽取2道进行作答，抽出的题目不再放回.

(1) 求选手甲第1次抽到“圆锥曲线”试题且第2次抽到“函数与导数”试题的概率；

(2) 求选手甲第2次抽到“函数与导数”试题的概率；

(3) 求选手甲第2次抽到“函数与导数”试题的条件下，第1次抽到“圆锥曲线”试题的概率.

解答题普通

3. 根据上级要求，某市人民医院要选出呼吸，护理，心理治疗方面的专家支援X城市抗疫，该院有3名呼吸专家 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， 4名护理专家 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， 2名心理专家 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 从中选出4人组成支援团，求4人中至少有1名心理专家的概率；

(2) 从中选出4人组成支援团，求呼吸，护理，心理专家都有的概率．

解答题普通