2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为.

1. 2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为 $\text{[math]}$ ，良好的概率为 $\text{[math]}$ ；在续航测试中结果为优秀的概率为 $\text{[math]}$ ，良好的概率为 $\text{[math]}$ ，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为 $\text{[math]}$ .

(1) 求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率；

(2) 求离散型随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列与期望.

【考点】

互斥事件的概率加法公式; 相互独立事件的概率乘法公式; 离散型随机变量及其分布列; 离散型随机变量的期望与方差;

【答案】

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解答题普通

1. 在一个盒子中有2个白球，3个红球，甲、乙两人轮流从盒子中随机地取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，每次取1个，取后不放回，直到2个白球都被取出来后就停止取球．

(1) 求2个白球都被乙取出的概率；

(2) 求2个白球都被甲取出的概率；

(3) 求将球全部取出才停止取球的概率

解答题困难

2. 在高中数学教材苏教版选择性必修2上阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个细胞分裂成两个）和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为 $\text{[math]}$ ，则从一个细胞开始，它有 $\text{[math]}$ 的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是 $\text{[math]}$ ，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是 $\text{[math]}$ ，于是我们得到： $\text{[math]}$ ，计算可得 $\text{[math]}$ ；我们也可以设一个种群由一个细胞开始，最终繁衍下去的概率为 $\text{[math]}$ ，那么从一个细胞开始，它有 $\text{[math]}$ 的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞繁衍下去的概率都是 $\text{[math]}$ ，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是 $\text{[math]}$ ，于是我们得到： $\text{[math]}$ ，计算可得 $\text{[math]}$ ．根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐标系的点 $\text{[math]}$ 处，他每步走动都会有 $\text{[math]}$ 的概率向左移动1个单位，有 $\text{[math]}$ 的概率向右移动一个单位，原点 $\text{[math]}$ 处有一个陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以 $\text{[math]}$ 代表当这个人由 $\text{[math]}$ 开始，最终掉入陷阱的概率．

(1) 若这个人开始时位于点 $\text{[math]}$ 处，且 $\text{[math]}$ ．

（ⅰ）求他在5步内（包括5步）掉入陷阱的概率；

（ⅱ）求他最终掉入陷阱的概率 $\text{[math]}$ ；

（ⅲ）已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

(2) 已知 $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 的连续函数．

（ⅰ）分别写出当 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值（直接写出即可，不必说明理由）；

（ⅱ）求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的表达式．

解答题困难

3. 甲、乙两人进行围棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分，约定一方比另一方多3分或比赛满7局时结束，并规定：当一方比另一方多3分或比赛满7局时，得分多的一方才算赢．假设在每局比赛中不存在平局，且甲每局获胜的概率为 $\text{[math]}$ ，各局比赛相互独立．已知前3局中，甲胜1局，乙胜2局，两人又打了 $\text{[math]}$ 局后比赛结束．

(1) 求甲获得这次比赛胜利的概率；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的分布列及期望．

解答题普通