【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容．已知：如图13.5.4，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA ， PE⊥OB ，垂足分别为点D和点E ．求证：PD＝PE ．分析：图中有两个直角三角形PDO和PEO ，只要证明这两个三角形全等便可证得PD＝PE ．

1. 【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容．

已知：如图13.5.4，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA ， PE⊥OB ，垂足分别为点D和点E ．

求证：PD＝PE ．

分析：

图中有两个直角三角形PDO和PEO ，只要证明这两个三角形全等便可证得PD＝PE ．

(1) 【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明PD＝PE的过程．

(2) 【类比探究】

如图②，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，点M ， N分别在OB和OA上，连接PM和PN ，若∠PMO+∠PNO＝180°，求证：PM＝PN；

(3) 如图③，△ABC的周长是12，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB ， OD⊥BC于点D ，若OD＝3，则△ABC的面积为．

【考点】

三角形的面积; 三角形全等及其性质; 角平分线的性质; 三角形全等的判定-AAS;

【答案】

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实践探究题困难

1. 在直线m上依次取互不重合的三个点D ， A ， E ，在直线m上方有 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ．

(1) 【积累经验】

如图1，当 $\text{[math]}$ 时，猜想线段DE ， BD ， CE之间的数量关系是；

(2) 【类比迁移】

如将2，当 $\text{[math]}$ 时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；

(3) 【拓展应用】

如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是钝角， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线m与CB的延长线交于点F ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积是12，请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积之和．

实践探究题普通

(1) 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形.如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC ，直线l经过点A ， BD⊥直线l ， CE⊥直线l ，垂足分别为点D、E.证明：DE＝BD+CE.

(2) 组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC ， D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.

(3) 数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG ， AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I ，求证：I是EG的中点.

实践探究题困难

3. 在直线 $\text{[math]}$ 上依次取互不重合的三个点D、A、E ，在直线 $\text{[math]}$ 上方有 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ．

(1) 【积累经验】

如图1，当 $\text{[math]}$ 时，猜想线段 $\text{[math]}$ 之间的数量关系是 ▲ ；请说明理由．

(2) 【类比迁移】

如图2，当 $\text{[math]}$ 时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请说明理由；若不成立，也请说明理由；

(3) 【拓展应用】

如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是钝角， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线m与CB的延长线交于点F，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积是12，直接写出△FBD与 $\text{[math]}$ 的面积之和.

实践探究题困难