问题探究：探究与应用

1. 问题探究：探究与应用

(1) 如图1，在正方形ABCD中，AB=2，点E是边AD的中点，请在对角线AC上找一点P，使得PE+PD的值最小，并求出这个最小值；（不用写作法，保留作图痕迹）

(2) 如图2，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是边BC的中点，若点P是边AB上一动点，当△PED的周长最小时，求BP的长度；

问题解决：

(3) 某市规划在市中心广场内修建一个矩形的活动中心，如图3，矩形OABC是它的规划图纸，其中A为入口，已知OA=30，OC=20，点E是边AB的中点，以顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，点D是边OA上一点，若将△ABD沿BD翻折，点A恰好落在边BC上的点F处，在点F处设一出口，点M、N分别是边OA、OC上的点，现规划在点M、N、F、E四处各安置一个健身器材，并依次修建MN、NF、FE及EM四条小路，则是否存在点M、N，使得这四条小路的总长度最小？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

【考点】

轴对称的应用-最短距离问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别发铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短.

(1) 如图②，作出点A关于l的对称点 $\text{[math]}$ ，线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的交点C的位置即为所求，即在点C处建气站，所得路线ACB是最短的，为了让明点C的位置即为所求，不妨在l直线上另外任取一点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明 $\text{[math]}$ ，请完成这个证明.

(2) 如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别始出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由），

①生市保护区是正方形区城，位置如图③所示

②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示.

综合题普通

(1) 如图1，在AB直线一侧有C，D两点，在AB上找一点P，使C，D，P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由：

(2) 如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA，OB上分别存在点E，F，使得E，F，P三点组成的三角形的周长最短，找出E，F两点，并说明理由：

(3) 如图3，在∠AOB内部有两点M，N，是否在OA，OB上分别存在点E，F，使得E，F， M，N，四点组成的四边形的周长最短，找出E，F两点，并说明理由.

综合题困难

3. 如图，在直角梯形AOBC中，AC∥OB，且OB=6，AC=5，OA=4.

(1) 求B、C两点的坐标：

(2) 以O、A、B、C中的三点为顶点可组成哪几个不同的三角形？

(3) 是否在边AC和BC（含端点）上分别存在点M和点N，使得△MON的面积最大时，它的周长还最短？若存在，说明理由，并求出这时点M、N的坐标；若不存在，为什么？

综合题困难