已知事件满足.证明：

1. 已知事件 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .证明：

(1) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 独立；

(2) $\text{[math]}$ .

【考点】

概率的基本性质; 相互独立事件的概率乘法公式; 全概率公式;

【答案】

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解答题困难

1. 投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏．假设甲、乙、丙、丁是四位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中的机会是均等的，丁每次投壶时，投中的概率为 $\text{[math]}$ ．甲、乙、丙、丁每人每次投壶是否投中相互独立，互不影响．

(1) 若甲、乙、丙、丁每人各投壶1次，求只有一人投中的概率；

(2) 甲、丁进行投壶比赛，若甲、丁每人各投壶2次，投中次数多者获胜，求丁获胜的概率．

解答题普通

2. 甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮，该小组最多参加三轮活动.已知每一轮甲猜对歌名的概率是 $\text{[math]}$ ，乙猜对歌名的概率是 $\text{[math]}$ ，丙猜对歌名的概率是 $\text{[math]}$ ，甲、乙、丙猜对与否互不影响.

(1) 求该小组未能进入第二轮的概率；

(2) 该小组能进入第三轮的概率；

(3) 乙猜歌曲的次数不小于2的概率.

解答题普通

3. 某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关.已知第一关的通过率为0.7，第二关､第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.3，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加.假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲､乙两位选手参加本次活动.

(1) 求甲最后没有得奖的概率；

(2) 已知甲和乙都通过了前两关，求甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率.

解答题普通