如图，等边的边长为4，点为边的中点，动点在边上运动，当点不与点、重合时，过点作，交边于点，以、为边作．

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1. 如图，等边 $\text{[math]}$ 的边长为4，点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 的中点，动点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上运动，当点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合时，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为边作 $\text{[math]}$ ．

(1) 当点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 左侧，且 $\text{[math]}$ 的面积等于 $\text{[math]}$ 的面积，则 $\text{[math]}$ ______；

(2) 当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分是轴对称多边形时，求线段 $\text{[math]}$ 长度的取值范围；

(3) 作点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，

①当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，求 $\text{[math]}$ 的面积；

②当线段 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 分成两部分图形的面积比为 $\text{[math]}$ 时，直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

等边三角形的性质; 平行四边形的性质; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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解答题困难

1. 如图（1）， $\text{[math]}$ 为坐标原点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的正半轴上，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，反比例函数 $\text{[math]}$ 在第一象限内的图象经过点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求点 $\text{[math]}$ 的坐标和反比例函数解析式；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（3）在（2）中的条件下，如图（2），点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，点 $\text{[math]}$ 为双曲线上的一个动点，是否在这样的点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ ，使以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．