在等边中，，垂足为D ，点E是线段AD上一点，连接CE ，将CE绕点C顺时针旋转到CF ，连接EF交AC于点G ．

1. 在等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，垂足为D ，点E是线段AD上一点，连接CE ，将CE绕点C顺时针旋转 $\text{[math]}$ 到CF ，连接EF交AC于点G ．

(1) 如图1，若FE的延长线恰好过点B ，且 $\text{[math]}$ ，求AB的长度：

(2) 如图2，在AD上取一点H ，使 $\text{[math]}$ ，在AB的延长线上取一点K ，连接KH ，且满足 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 如图3， $\text{[math]}$ ，点M为平面内任意一点，连接BM、DM ，将 $\text{[math]}$ 沿BM所在直线翻折至 $\text{[math]}$ 所在平面内，得到 $\text{[math]}$ ，连接CN ，点T是线段CN中点，将线段TC绕点T逆时针旋转 $\text{[math]}$ 到TS ，点P为线段CD中点，连接SC、SP ，直线SP与直线AB交于点Q ，当SP取最大值时，请直接写出此时 $\text{[math]}$ 的面积．

【考点】

翻折变换（折叠问题）; 相似三角形的判定; 旋转的性质; 三角形的综合; 三角形-动点问题;

【答案】

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综合题困难

1. 已知矩形ABCD的一条边AD=8，E是BC边上的一点，将矩形ABCD沿折痕AE折叠，使得顶点B落在CD边上的点P处，PC=4（如图1）．

(1) 求AB的长；

(2) 擦去折痕AE，连结PB，设M是线段PA的一个动点（点M与点P、A不重合）．N是AB沿长线上的一个动点，并且满足PM=BN．过点M作MH⊥PB，垂足为H，连结MN交PB于点F（如图2）．

①若M是PA的中点，求MH的长；

②试问当点M、N在移动过程中，线段FH的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段FH的长度．

综合题困难

2. 折纸中的数学：打开本指书刊幅面的规格大小.如图①，将一张矩形印刷用纸对折后可以得到2开纸，再对折得到4开纸，以此类推可以得到8开纸、16开纸……

若这张矩形印刷用纸的短边长为a.

(1) 如图②，若将这张矩形印刷用纸ABCD（AB＞BC）进行折叠，使得BC与AB重合，点C落在点F处，得到折痕BE；展开后，再次折叠该纸，使点A落在E处，此时折痕恰好经过点B，得到折痕BG，求 $\text{[math]}$ 的值.

(2) 如图③，②中的矩形纸片ABCD折成2开纸BCIH和4开纸AMNH，它们的对角线分别是HC、HM.说明HC⊥HM.

(3) 将图①中的2开纸、4开纸、8开纸和16开纸按如图④所示的方式摆放，依次连接点A、B、M、I，则四边形ABMI的面积是.（用含a的代数式表示）

综合题普通

3. 如图（1），在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，动点P在线段AC上以5cm/s的速度从点A运动到点C，过点P作PD⊥AB于点D，将△APD绕PD的中点旋转180°得到△A′DP，设点P的运动时间为x（s）．

(1) PD=、AD=；（用x的代数式表示）

(2) 当点A′落在边BC上时，求x的值．

(3) 如图（2），另有一动点Q与点P同时出发，在线段BC上以5cm/s的速度从点B运动到点C，过点Q作QE⊥AB于点E，将△BQE绕QE的中点旋转180°得到△B′EQ，

①连结A′B′，当直线A′B′与△ABC的一边垂直时，求线段A′B′的长．

②当A′关于QE的对称点落在四边形BE B′Q的内部（包括边上）时，直接写出x的取值范围．

综合题困难