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1. 折纸中的数学：打开本指书刊幅面的规格大小.如图①，将一张矩形印刷用纸对折后可以得到2开纸，再对折得到4开纸，以此类推可以得到8开纸、16开纸……

若这张矩形印刷用纸的短边长为a.

(1) 如图②，若将这张矩形印刷用纸ABCD（AB＞BC）进行折叠，使得BC与AB重合，点C落在点F处，得到折痕BE；展开后，再次折叠该纸，使点A落在E处，此时折痕恰好经过点B，得到折痕BG，求 的值.
(2) 如图③，②中的矩形纸片ABCD折成2开纸BCIH和4开纸AMNH，它们的对角线分别是HC、HM.说明HC⊥HM.
(3) 将图①中的2开纸、4开纸、8开纸和16开纸按如图④所示的方式摆放，依次连接点A、B、M、I，则四边形ABMI的面积是.（用含a的代数式表示）
【考点】
翻折变换（折叠问题）;
【答案】

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综合题 普通
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真题演练
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1. 已知矩形ABCD的一条边AD=8，E是BC边上的一点，将矩形ABCD沿折痕AE折叠，使得顶点B落在CD边上的点P处，PC=4（如图1）．

(1) 求AB的长；
(2) 擦去折痕AE，连结PB，设M是线段PA的一个动点（点M与点P、A不重合）．N是AB沿长线上的一个动点，并且满足PM=BN．过点M作MH⊥PB，垂足为H，连结MN交PB于点F（如图2）．

①若M是PA的中点，求MH的长；

②试问当点M、N在移动过程中，线段FH的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段FH的长度．
综合题 困难
2. 如图（1），在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，动点P在线段AC上以5cm/s的速度从点A运动到点C，过点P作PD⊥AB于点D，将△APD绕PD的中点旋转180°得到△A′DP，设点P的运动时间为x（s）．

(1) PD=、AD=；（用x的代数式表示）
(2) 当点A′落在边BC上时，求x的值．
(3) 如图（2），另有一动点Q与点P同时出发，在线段BC上以5cm/s的速度从点B运动到点C，过点Q作QE⊥AB于点E，将△BQE绕QE的中点旋转180°得到△B′EQ，

①连结A′B′，当直线A′B′与△ABC的一边垂直时，求线段A′B′的长．


②当A′关于QE的对称点落在四边形BE B′Q的内部（包括边上）时，直接写出x的取值范围．
综合题 困难
3.

已知矩形ABCD中，AB=10cm，AD=4cm，作如下折叠操作．如图1和图2所示．在边AB上取点M，在边AD或DC上取点P，连接MP，将△AMP或四边形AMPD沿着直线MP折叠到△A′MP或四边形A′MPD′，点A落点为点A′，点D落点为点D′．

探究：

(1) 如图1，若AM=8cm，点P在AD上，点A′落在DC上，则∠MA′C的度数为
(2) 如图2，若AM=5cm，点P在DC上，点A′落在DC上．

①求证：△MA′P是等腰三角形；

②请直接写出线段DP的长是
(3) 若点M固定为AB的中点，点P由A开始，沿A﹣D﹣C方向，在AD、DC边上运动，设点P的运动速度为1cm/s，运动时间为t s，按操作要求折叠：

①求：当MA′与线段DC有交点时，t的取值范围；

②直接写出当点A′到边AB 的距离最大时，t的值是

发现：若点M在线段AB上移动，点P仍为线段AD或DC上的任意点，随着点M的位置不同，按操作要求折叠后，点A的落点A′的位置会出现以下三种不同的情况：不会落在线段DC上，只有一次落在线段DC上，会有两次落在线段DC上．请直接写出点A′有两次落在线段DC上时，AM的取值范围是
综合题 普通