如图，在四边形中，，延长到，使，连接交于点，点是的中点．求证：

1. 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点．

求证：

(1) $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ．

(2) 四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．

【考点】

平行四边形的判定; 三角形全等的判定-AAS;

【答案】

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解答题普通

1. 已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数 $\text{[math]}$ 图像上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的图像于点B，过点A作AE⊥ $\text{[math]}$ 轴于点E。

(1) 如图1，过点B作BF⊥ $\text{[math]}$ 轴于点F，连结EF，

①若 $\text{[math]}$ ，求证：四边形AEFO是平行四边形；

②连结BE，若 $\text{[math]}$ ，求△BOE的面积。

(2) 如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的图像于点P，连结OP。

试探究：对于确定的实数 $\text{[math]}$ ，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由。

综合题困难

2. 在矩形 $\text{[math]}$ 中，点E是射线 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，过点B作 $\text{[math]}$ 于点G，交直线 $\text{[math]}$ 于点F.

(1) 当矩形 $\text{[math]}$ 是正方形时，以点F为直角顶点在正方形 $\text{[math]}$ 的外部作等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

①如图1，若点E在线段 $\text{[math]}$ 上，则线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系是_▲__，位置关系是_▲_；

②如图2，若点E在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；

(2) 如图3，若点E在线段 $\text{[math]}$ 上，以 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为邻边作 $\text{[math]}$ ，M是 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

综合题困难