如图，在四棱锥中，侧面PAD是正三角形，底面为正方形，侧面底面， M，N， Q分别是PD，AB，BC中点，AD=2 .

1. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，侧面PAD是正三角形，底面 $\text{[math]}$ 为正方形，侧面 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， M，N， Q分别是PD，AB，BC中点，AD=2 .

(1) 求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积；

(3) 求二面角的 $\text{[math]}$ 正切值.

【考点】

直线与平面垂直的判定; 二面角及二面角的平面角; 锥体的体积公式及应用;

【答案】

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解答题普通

1. 如图， $\text{[math]}$ 是边长为2的正三角形， $\text{[math]}$ 是以AB为斜边的等腰直角三角形，且 $\text{[math]}$ .

（1）求证：平面ABC $\text{[math]}$ 平面ABD；

（2）求二面角A-BC-D的余弦值.

解答题普通

2. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底 $\text{[math]}$ 面是矩形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ .

(1) 证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值.

解答题普通

3. 已知 $\text{[math]}$ 是锐角三角形 $\text{[math]}$ 的垂心，过 $\text{[math]}$ 作平面 $\text{[math]}$ 的垂线，在垂线上取一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

解答题普通