如果数列满足：且则称为n阶“归化”数列.

1. 如果数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 则称 $\text{[math]}$ 为n阶“归化”数列.

(1) 若某3阶“归化”数列 $\text{[math]}$ 是等差数列，且单调递增，写出该数列的各项；

(2) 若某11阶“归化”数列 $\text{[math]}$ 是等差数列，求该数列的通项公式；

(3) 若 $\text{[math]}$ 为n阶“归化”数列，求证 $\text{[math]}$

【考点】

等差数列的前n项和; 数列与不等式的综合; 等差数列与等比数列的综合;

【答案】

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解答题困难

1. 若有穷数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则称其为“ $\text{[math]}$ 阶 $\text{[math]}$ 数列”.

(1) 若“6阶 $\text{[math]}$ 数列”为等比数列，写出该数列的各项；

(2) 若某“ $\text{[math]}$ 阶 $\text{[math]}$ 数列”为等差数列，求该数列的通项 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ，用 $\text{[math]}$ 表示）；

(3) 记“ $\text{[math]}$ 阶 $\text{[math]}$ 数列” $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若存在 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，试问：数列 $\text{[math]}$ 能否为“ $\text{[math]}$ 阶 $\text{[math]}$ 数列”？若能，求出所有这样的数列 $\text{[math]}$ ；若不能，请说明理由.

解答题困难

2. 记 $\text{[math]}$ 为等差数列{ $\text{[math]}$ }的前 $\text{[math]}$ 项和，已知公差 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 成等比数列.

(1) 求数列{ $\text{[math]}$ }的通项公式；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的值，

解答题普通

3. 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的公比 $\text{[math]}$ ，前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的等差中项.

（I）求 $\text{[math]}$ ；

（II）设数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ .

解答题普通