2023年7月10日，习近平主席向全球共享发展行动论坛首届高级别会议致贺信中指出：“发展是人类社会的永恒主题，共享发展是建设美好世界的重要路径．”我们把函数与函数衍生出的函数称为“共享”函数．

1. 2023年7月10日，习近平主席向全球共享发展行动论坛首届高级别会议致贺信中指出：“发展是人类社会的永恒主题，共享发展是建设美好世界的重要路径．”我们把函数 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ 衍生出的函数 $\text{[math]}$ 称为“共享”函数．

(1) 请求出函数 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ 的“共享”函数，并求出此“共享”函数的最小值；

(2) 若函数 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ 的“共享”函数图象的顶点为A，与y轴的交点为B，此时由原点O与A，B三点组成的 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为底的等腰三角形，求点B的坐标；

(3) 若函数 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ 的“共享”函数的图象过点 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求点 $\text{[math]}$ 离原点O的距离 $\text{[math]}$ 的取值范围．

【考点】

坐标与图形性质; 不等式的性质; 等腰三角形的概念;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，一次函数 $\text{[math]}$ 的图像与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图像交于点 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点B，与x轴交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求k与m的值；

(2) $\text{[math]}$ 为x轴上的一动点，当△APB的面积为 $\text{[math]}$ 时，求a的值．

解答题普通

2. 如图在直角坐标系中，已知 $\text{[math]}$ 三点，若 $\text{[math]}$ 满足关系式： $\text{[math]}$ ．

(1)求 $\text{[math]}$ 的值

(2)求四边形 $\text{[math]}$ 的面积

(3)是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 的面积为四边形 $\text{[math]}$ 的面积的两倍？若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标，若不存在，请说明理由

解答题普通

3. 在平面直角坐标系中，二次函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， m为常数）的图象记作G，图象G上点A的横坐标为2m．

(1) 当 $\text{[math]}$ ，求图象G的最低点坐标；

(2) 平面内有点 $\text{[math]}$ ．当AC不与坐标轴平行时，以AC为对角线构造矩形ABCD，AB与x轴平行，BC与y轴平行．

①若矩形ABCD为正方形时，求点A坐标；

②图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，求m的取值范围．

解答题困难