在三棱台中，底面是等边三角形，侧面是等腰梯形，是的中点，是两异面直线和的公垂线，且，．

1. 在三棱台 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是等边三角形，侧面 $\text{[math]}$ 是等腰梯形， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是两异面直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的公垂线，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 证明：侧面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 之间的距离为1，求二面角 $\text{[math]}$ 的正切值．

【考点】

平面与平面垂直的判定; 二面角及二面角的平面角;

【答案】

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解答题困难

1. 如图1，一副标准的三角板中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将两三角板的边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，拼成一个空间图形 $\text{[math]}$ ，且三角板 $\text{[math]}$ 可绕边 $\text{[math]}$ 旋转.设M是 $\text{[math]}$ 的中点，N是 $\text{[math]}$ 的中点.

(1) 如图2，若 $\text{[math]}$ ，求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 如图3，若 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值.

解答题普通

2. 如图，在四棱台 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是正方形，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

解答题普通

3. 在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，三角形 $\text{[math]}$ 是等边三角形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值．

解答题普通