已知，如图，△ABC为等边三角形，点E在AC边上，点D在BC边上，并且AE＝CD，AD和BE相交于点M，BN⊥AD于N．

1. 已知，如图，△ABC为等边三角形，点E在AC边上，点D在BC边上，并且AE＝CD，AD和BE相交于点M，BN⊥AD于N．

(1) 求证：BE＝AD；

(2) 求∠BMN的度数；

(3) 若MN＝3cm，ME＝1cm，则AD＝ cm．

【考点】

三角形的外角性质; 等边三角形的性质; 含30°角的直角三角形; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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证明题普通

1. 如图1， $\text{[math]}$ 是边长为5厘米的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 运动，且它们的速度都为1厘米/秒，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为 $\text{[math]}$ ．

(1) 当运动时间为t秒时， $\text{[math]}$ 的长为______厘米， $\text{[math]}$ 的长为______厘米；（用含t的式子表示）

(2) 当 $\text{[math]}$ 是直角三角形时，求t的值；

(3) 如图2，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，相交于点M，则点P、Q在运动的过程中， $\text{[math]}$ 会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．

证明题普通

2. 如图， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别是以 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为一边在形外所作的等边三角形， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于O．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 求 $\text{[math]}$ 的度数．

证明题普通

3. 已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等边三角形．

(1) 如图1，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，当点D在 $\text{[math]}$ 的延长线上时，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 如图3，当点D在射线 $\text{[math]}$ 上时，过点E作 $\text{[math]}$ 于点F．猜想线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间存在的数量关系，并证明你的猜想．

证明题困难