若数列的各项均为正数，对任意，有，则称数列为“对数凹性”数列．

1. 若数列 $\text{[math]}$ 的各项均为正数，对任意 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ 为“对数凹性”数列．

(1) 已知数列1，3，2，4和数列1，2，4，3，2，判断它们是否为“对数凹性”数列，并说明理由；

(2) 若函数 $\text{[math]}$ 有三个零点，其中 $\text{[math]}$ ．

证明：数列 $\text{[math]}$ 为“对数凹性”数列；

(3) 若数列 $\text{[math]}$ 的各项均为正数， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对任意三个不相等正整数p，q，r，存在常数t，使得 $\text{[math]}$ ．

证明：数列 $\text{[math]}$ 为“对数凹性”数列．

【考点】

基本不等式; 等差数列的通项公式; 等差数列的前n项和;

【答案】

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解答题困难

1. 某商店对该店某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行分析发现：该款冰雪运动装备的日销售单价 $\text{[math]}$ （元/套）与时间x（该月的第x天）的函数关系近似满足 $\text{[math]}$ （k为正常数）.该商品的日销售量 $\text{[math]}$ （个）与时间x（天）部分数据如下表所示：

x	10	20	25	30
$\text{[math]}$	110	120	125	130

已知第10天该商品的日销售收入为121元.

(1) 求k的值；

(2) 根据上表中数据，用函数模型 $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ 为常数）来描述该商品的日销售量 $\text{[math]}$ 与时间x的关系，试求出函数 $\text{[math]}$ 的解析式；

(3) 根据（1）（2）的结论，求该商品的日销售收入 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）（元）的最小值.

解答题普通

2. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项积为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ 为等差数列；

(2) 记 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前2023项的和 $\text{[math]}$ ．

解答题普通

3. 已知正数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值；

(2) 证明： $\text{[math]}$ ．

解答题普通