已知函数与函数，其中.

1. 已知函数 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的单调区间；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 若曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴有两个不同的交点，求证：曲线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 共有三个不同的交点.

【考点】

利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数最大（小）值; 函数零点存在定理;

【答案】

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解答题困难

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；

(2) 证明： $\text{[math]}$ ．

解答题困难

2. 已知函数 $\text{[math]}$

(1) 求函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值与最小值；

(2) 若函数 $\text{[math]}$ 在定义域内单调递增，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题普通

3. 已知定义：函数 $\text{[math]}$ 的导函数为 $\text{[math]}$ ，我们称函数 $\text{[math]}$ 的导函数 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的二阶导函数，如果一个连续函数 $\text{[math]}$ 在区间I上的二阶导函数 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为I上的凹函数；二阶导函数 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为I上的凸函数.若 $\text{[math]}$ 是区间I上的凹函数，则对任意的 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，有不等式 $\text{[math]}$ 恒成立（当且仅当 $\text{[math]}$ 时等号成立）.若 $\text{[math]}$ 是区间I上的凸函数，则对任意的 $\text{[math]}$ ，有不等式 $\text{[math]}$ 恒成立（当且仅当 $\text{[math]}$ 时等号成立）.已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 试判断 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 为凹函数还是凸函数?

(2) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值；

(3) 已知 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数a的所有可能取值.

解答题困难