小明在探究三角形与圆的位置变化关系时，发现图形随着圆的位置变化存在一些特殊的关系．探究过程如下：如图，已知在等腰中，，已知，，点是边上一点，以为半径作，发现：始终与边，边相交，与边的交点记为点．连接，作点关于直线的对称点，连接CC．小明按照以下步骤进行探究：

1. 小明在探究三角形与圆的位置变化关系时，发现图形随着圆的位置变化存在一些特殊的关系．探究过程如下：如图，已知在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上一点，以 $\text{[math]}$ 为半径作 $\text{[math]}$ ，发现： $\text{[math]}$ 始终与边 $\text{[math]}$ ，边 $\text{[math]}$ 相交，与边 $\text{[math]}$ 的交点记为点 $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ，作点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点，连接CC．小明按照以下步骤进行探究：

(1) 直接写出 $\text{[math]}$ 的长：．

(2) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

①求y关于x的函数表达式．

②当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上移动，当 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为腰的等腰三角形时，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

等腰三角形的性质; 圆的相关概念; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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解答题困难

1. 定义：在平面直角坐标系中，图形 G 上点 P（x，y）的纵坐标 y 与其横坐标 x 的差 y﹣x 称为 P 点的“坐标差”，而图形 G 上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形 G 的“特征值”．

(1) ①点 A（1，3）的“坐标差”为；

②抛物线 $\text{[math]}$ 的“特征值”为；

(2) 某二次函数 $\text{[math]}$ 的“特征值”为﹣1，点 B（m，0）与点 C 分别是此二次函数的图象与 x 轴和 y 轴的交点，且点 B 与点 C 的“坐标差”相等．

①直接写出 m＝；（用含 c 的式子表示）

②求此二次函数的表达式．

(3) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 M（2，3）为圆心，2 为半径的圆与直线 y＝x 相交于点 D、E，请直接写出⊙M 的“特征值”为．

解答题困难

2. 定义：在平面直角坐标系中，图形 G 上点 P（x，y）的纵坐标 y 与其横坐标 x 的差 y﹣x 称为 P 点的“坐标差”，而图形 G 上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形 G 的“特征值”．

(1) ①点 A（1，3）的“坐标差”为；

②抛物线 $\text{[math]}$ 的“特征值”为；

(2) 某二次函数 $\text{[math]}$ 的“特征值”为﹣1，点 B（m，0）与点 C 分别是此二次函数的图象与 x 轴和 y 轴的交点，且点 B 与点 C 的“坐标差”相等．

①直接写出 m＝；（用含 c 的式子表示）

②求此二次函数的表达式．

(3) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 M（2，3）为圆心，2 为半径的圆与直线 y＝x 相交于点 D、E，请直接写出⊙M 的“特征值”为．

解答题困难

3. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高 $\text{[math]}$ 所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上 $\text{[math]}$ 点测得屋顶 $\text{[math]}$ 的仰角为 $\text{[math]}$ ，此时地面上 $\text{[math]}$ 点、屋檐上 $\text{[math]}$ 点、屋顶上 $\text{[math]}$ 点三点恰好共线，继续向房屋方向走 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ 时，又测得屋檐 $\text{[math]}$ 点的仰角为 $\text{[math]}$ ，房屋的顶层横梁 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一水平线上）．（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

（1）求屋顶到横梁的距离 $\text{[math]}$ ；

（2）求房屋的高 $\text{[math]}$ （结果精确到 $\text{[math]}$ ）．

解答题普通