后疫情时代，很多地方尝试开放夜市地摊经济，多个城市也放宽了对摆摊的限制．某商场经营者也顺应潮流准备在商场门前摆地摊．已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形OMPN区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点在弧AB上，点和点分别在线段和线段上，且，．记．

1. 后疫情时代，很多地方尝试开放夜市地摊经济，多个城市也放宽了对摆摊的限制．某商场经营者也顺应潮流准备在商场门前摆地摊．已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地 $\text{[math]}$ 进行改造．如图所示，平行四边形OMPN区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点 $\text{[math]}$ 在弧AB上，点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 分别在线段 $\text{[math]}$ 和线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．记 $\text{[math]}$ ．

(1) 请写出顾客的休息区域OMPN的面积S关于 $\text{[math]}$ 的函数关系式，并求当 $\text{[math]}$ 为何值时，S取得最大值；

(2) 记 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 存在最大值，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

【考点】

平面向量的基本定理; 正弦定理; 余弦定理; 辅助角公式;

【答案】

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解答题困难

1. 在平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E，F分别是AD₁ ， BD的中点．

(1) 用向量 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

2. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点O为 $\text{[math]}$ 所在平面上一点，满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）．

(1) 证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 若点O为 $\text{[math]}$ 的重心，求m、n的值；

(3) 若点O为 $\text{[math]}$ 的外心，求m、n的值．

解答题普通

3. 已知点A（0，2），B（4，6）， $\text{[math]}$ =t₁ $\text{[math]}$ +t₂ $\text{[math]}$ ，其中t₁、t₂为实数；

(1) 若点M在第二或第三象限，且t₁=2，求t₂的取值范围；

(2) 求证：当t₁=1时，不论t₂为何值，A、B、M三点共线；

(3) 若t₁=a² ， $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，且△ABM的面积为12，求a和t₂的值．

解答题普通