【知识迁移】我们已经知道：求若干个相同的有理数（均不等于0）的乘法运算叫做乘方．类比乘方的定义，我们规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．如：，等，我们把记作，读作“2的3次商”，记作，读作“的次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”．根据以上信息，完成下列问题．

1. 【知识迁移】我们已经知道：求若干个相同的有理数（均不等于0）的乘法运算叫做乘方．类比乘方的定义，我们规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．

如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 等，我们把 $\text{[math]}$ 记作 $\text{[math]}$ ，读作“2的3次商”， $\text{[math]}$ 记作 $\text{[math]}$ ，读作“ $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 次商”．一般地，我们把 $\text{[math]}$ 个 $\text{[math]}$ 相除记作 $\text{[math]}$ ，读作“ $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 次商”．根据以上信息，完成下列问题．

(1) 直接写出结果： $\text{[math]}$ ______， $\text{[math]}$ ______．

(2) 关于除方，下列说法错误的是（）

A．任何非零数的 $\text{[math]}$ 次商都等于 $\text{[math]}$

B．对于任何正整数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

C．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商互为相反数

D．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数

(3) 深入思考：除法运算能转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？

试一试，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： $\text{[math]}$ ______； $\text{[math]}$ ______；

(4) 综合应用：算一算： $\text{[math]}$ ．

【考点】

有理数的乘方法则; 有理数混合运算法则（含乘方）;

【答案】

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解答题普通

1. 【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于 $\text{[math]}$ ）的商的运算叫做除方．比加 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 等，类比有理数的乘方，我们把 $\text{[math]}$ 写作 $\text{[math]}$ ，读作“ $\text{[math]}$ 的圈 $\text{[math]}$ 次方”， $\text{[math]}$ 写作 $\text{[math]}$ ，读作“ $\text{[math]}$ 的圈 $\text{[math]}$ 次方”．一般地，把 $\text{[math]}$ 记作： $\text{[math]}$ ，读作“ $\text{[math]}$ 的圈 $\text{[math]}$ 次方”．特别地，规定： $\text{[math]}$ ．

【初步探究】

（1）直接写出计算结果： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ 为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有；（横线上填写序号）

A．任何非零数的圈 $\text{[math]}$ 次方都等于 $\text{[math]}$

B．任何非零数的圈 $\text{[math]}$ 次方都等于它的倒数

C．圈 $\text{[math]}$ 次方等于它本身的数是 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数

E．互为相反数的两个数的圈 $\text{[math]}$ 次方互为相反数

F．互为倒数的两个数的圈 $\text{[math]}$ 次方互为倒数

【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?

（3）请把有理数 $\text{[math]}$ 的圈 $\text{[math]}$ 次方写成幂的形式： $\text{[math]}$ ；

（4）计算： $\text{[math]}$ ．

解答题普通

2. 概念学习

规定：求若干个相同有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 等，类比有理数的乘方，我们把 $\text{[math]}$ 记作 $\text{[math]}$ ，读作“2的3次商”，

$\text{[math]}$ 记作 $\text{[math]}$ ，读作“－3的4次商”．一般地，我们把 $\text{[math]}$ 个 $\text{[math]}$ 相除记作 $\text{[math]}$ ，读作“ $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 次商”．

初步探究

（1）直接写出结果： $\text{[math]}$ ______；

（2）关于除方，下列说法错误的是______．

①任何非零数的2次商都等于1；

②对于任何正整数 $\text{[math]}$ ；

③ $\text{[math]}$ ；

④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．

深入思考

我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？

例： $\text{[math]}$

（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式

$\text{[math]}$ ______； $\text{[math]}$ ______．

（4）算一算： $\text{[math]}$

解答题普通

3. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．阅读材料，并完成下列相关问题．

材料一：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是正方形面积的一半，部分②的面积是①面积的一半，部分③的面积是②面积的一半，以此类推，则阴影部分的面积是 $\text{[math]}$ ，

空白部分的面积之和为： $\text{[math]}$ ．

材料二：欲求 $\text{[math]}$ 的值，可以按照如下步骤进行：

令 $\text{[math]}$ ①，

等式两边同时乘以2，得 $\text{[math]}$ ②，

由②式减去①式，得 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ．

解决问题：

(1) 图1部分③的面积为______．

(2) 如图2，若按这样的方式继续分割下去，受材料一的启发，可求得 $\text{[math]}$ 的值为______．

(3) 利用材料二提供的方法，请你求出 $\text{[math]}$ 的值．

(4) 通过学习材料一、材料二，选择你喜欢的方法解决问题： $\text{[math]}$ 的值为______．

解答题普通