综合与实践问题情境：第二十四届国际数学家大会合徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图1，在综合实践课上，同学们绘制了“弦图”并进行探究，获得了以下结论：该图是由四个全等的直角三角形（△DAE ， △ABF ， △BCG ， △CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD ，且∠ABF＞∠BAF ．特殊化探究：连接BH ．设BF＝a ， AF＝b ． “运河小组”从线段长度的特殊化提出问题：

1. 综合与实践

问题情境：第二十四届国际数学家大会合徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图1，在综合实践课上，同学们绘制了“弦图”并进行探究，获得了以下结论：该图是由四个全等的直角三角形（△DAE ， △ABF ， △BCG ， △CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD ，且∠ABF＞∠BAF ．

特殊化探究：连接BH ．设BF＝a ， AF＝b ．

“运河小组”从线段长度的特殊化提出问题：

(1) 若AB＝5，FG＝1，求△ABF的面积．

(2) “武林小组”从a与b关系的特殊化提出问题：

若b＝2a ，求证：∠BAE＝∠BHE ．

(3) 深入探究：老师进一步提出问题：

如图2，连接BE ，延长FA到点I ，使AI＝AB ，作矩形BFIJ ．设矩形BFIJ的面积为S₁ ，正方形ABCD的面积为S₂ ，若BE平分∠ABF ，求证：S₁＝S₂ ．

请你解答这三个问题．

【考点】

三角形全等的判定; 勾股定理; 正方形的性质; 四边形的综合;

【答案】

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实践探究题困难

1. 【课本再现】

(1) 如图 1，正方形 $\text{[math]}$ 的对角线相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 又是正方形 $\text{[math]}$ 的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为 1 ，四边形 $\text{[math]}$ 为两个正方形重叠部分，正方形 $\text{[math]}$ 可绕点 $\text{[math]}$ 转动，则下列结论正确的是(填序号即可).

① $\text{[math]}$

② $\text{[math]}$

③四边形 $\text{[math]}$ 的面积总等于 $\text{[math]}$ ；

④连接 $\text{[math]}$ ，总有 $\text{[math]}$ .

(2) 【类比迁移】

如图 2，矩形 $\text{[math]}$ 的中心 $\text{[math]}$ 是矩形 $\text{[math]}$ 的一个顶点， $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 可绕着点 $\text{[math]}$ 旋转，猜想 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并进行证明；

(3) 【拓展应用】

如图 3，在 Rt $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，直角 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 的中点处，它的两条边 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别与直线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ 可绕着点 $\text{[math]}$ 旋转，当 $\text{[math]}$ 时，求线段 $\text{[math]}$ 的长度.

实践探究题困难

2. 综合与实践

小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格：

课题	在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 $\text{[math]}$
模型抽象
测绘数据	①测得水平距离 $\text{[math]}$ 的长为15米．
	②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线 $\text{[math]}$ 的长为17米．
	③牵线放风筝的手到地面的距离 $\text{[math]}$ 为1.6米．
说明	点A，B，E，D在同一平面内