如图1，在正方形ABCD中，点P在AB上，连结CP ，过点B作BE⊥CP于点E ，过点D作DF⊥CP于点F ．

1. 如图1，在正方形ABCD中，点P在AB上，连结CP ，过点B作BE⊥CP于点E ，过点D作DF⊥CP于点F ．

(1) 求证：△CBE≌△DCF ．

(2) 如图2，延长CP至点G ，使EG＝EB ，连结BG ， DG ．

①探究线段BG ， CG ， DG之间的数量关系，并说明理由．

②连结AG ，若 $\text{[math]}$ ， AD＝3，求DG的长．

【考点】

三角形全等及其性质; 勾股定理; 正方形的性质; 等腰直角三角形; 三角形全等的判定-AAS;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，E是正方形 $\text{[math]}$ 对角线 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 垂足分别是点M、N，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求正方形的边长．

综合题困难

2. 如图 $\text{[math]}$ ，在正方形 $\text{[math]}$ 中，M是 $\text{[math]}$ 边上的一点，连接 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 于点M，交正方形 $\text{[math]}$ 的外角 $\text{[math]}$ 的平分线于点N

(1) 若正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，当M是 $\text{[math]}$ 边上的中点时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 如图2，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 边于点F，连接 $\text{[math]}$ ，探究线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由．

综合题困难

3. 学习了“勾股定理”后，郑州某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题．

报告	测量风筝的垂直高度 $\text{[math]}$
成员	组长：XXX 组员：XXX，XXX，XXX
工具	皮尺等
示意图
方案	先测量水平距离 $\text{[math]}$ ，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长 $\text{[math]}$ ，最后测量放风等的同学的身高 $\text{[math]}$
数据	$\text{[math]}$ 米 $\text{[math]}$ 米 $\text{[math]}$ 米
评价

(1) 求此时风筝的垂直高度 $\text{[math]}$ ；

(2) 若站在点A不动，想把风不沿 $\text{[math]}$ 方向从点F的位置上升18米至点C的位置，则还需放出风筝线多少米？

综合题普通