在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板的顶点放置在直线上，旋转三角板．

1. 在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 放置在直线 $\text{[math]}$ 上，旋转三角板．

(1) 如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 边上任取一点 $\text{[math]}$ 不同于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(3) 将三角板绕顶点 $\text{[math]}$ 转动，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，并保持点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 的上方 $\text{[math]}$ 在旋转过程中，探索 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系 $\text{[math]}$ 请直接写出你探索的结论 $\text{[math]}$ ．

【考点】

角的运算; 角平分线的概念; 平行线的判定与性质的应用-三角尺问题;

【答案】

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实践探究题困难

1. 在一次数学实践探究活动中，小明和他的同伴们将两个直角三角尺按如图所示方式放置，发现了其中的奥秘．

(1) 如图①，已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

(2) 如图②，已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(3) 经过一番探究，小明和他的同伴们发现：如图③，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则可以用含 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的式子直接表示 $\text{[math]}$ 的度数，你发现什么规律了吗？请你写出正确的结论，不必证明．

实践探究题普通

2. 解答下列问题．

(1) 【探索新知】

如图1，射线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的内部，图中共有 $\text{[math]}$ 个角： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“巧分线”．

①一个角的平分线这个角的“巧分线”．（填“是”或“不是”）

②如图2，若 $\text{[math]}$ ，且射线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“巧分线”，则 $\text{[math]}$ ．（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示出所有可能的结果）

(2) 【深入研究】

如图2，若 $\text{[math]}$ ，且射线 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 位置开始，以每秒 $\text{[math]}$ 的速度逆时针旋转，当与 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 成 $\text{[math]}$ 时停止旋转，旋转的时间为 $\text{[math]}$ 秒．

①当 $\text{[math]}$ 为何值时，射线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“巧分线”．

②若射线 $\text{[math]}$ 同时绕点 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 的速度逆时针旋转，并与 $\text{[math]}$ 同时停止．请直接写出当射线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“巧分线”时 $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题普通