为了研究学生的性别与是否喜欢运动的关联性，随机调查了某中学的50名学生，整理得到如下列联表：男学生女学生合计喜欢运动8412不喜欢运动23638合计104050

1. 为了研究学生的性别与是否喜欢运动的关联性，随机调查了某中学的50名学生，整理得到如下列联表：

	男学生	女学生	合计
喜欢运动	8	4	12
不喜欢运动	2	36	38
合计	10	40	50

(1) 依据 $\text{[math]}$ 的独立性检验，能否认为学生的性别与是否喜欢运动有关联？

(2) 现从喜欢运动的学生中随机抽取3人进行进一步的检测，设随机变量 $\text{[math]}$ 为男学生的人数，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望.

附：

$\text{[math]}$	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
$\text{[math]}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

参考公式： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

【考点】

独立性检验的基本思想; 离散型随机变量的期望与方差;

【答案】

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解答题普通

1. 2023年8月8日是我国第15个“全民健身日”，设立全民健身日（FitnessDay）是适应人民群众体育的需求，促进全民健身运动开展的需要.某学校为了提高学生的身体素质，举行了跑步竞赛活动，活动分为长跑、短跑两类项目，该班级所有同学均参加活动，且男女同学人数比为 $\text{[math]}$ ，每位同学选择一项活动参加.统计数据如下表：

	长跑	短跑
男同学	a	10
女同学	10	10

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值并依据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，能否推断选择跑步项目的类别与其性别相关；

(2) 赛后校记者团对参加长跑比赛的同学按性别采用分层随机抽样的方法抽取8名同学，再从这8名同学中抽取2名同学接受采访，记随机变量X表示抽到的2人中女生的人数，求X的布列与数学期望.

附： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$	0.05	0.01	0.001
$\text{[math]}$	3.841	6.635	10.828

解答题普通

2. 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 $\text{[math]}$ .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料.

(1) 求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；

(2) 求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.

解答题普通

3. 三门是“中国青蟹之乡”，气候温暖、港湾平静、水质优良，以优越的自然环境成为我国优质青蟹的最佳产区.所产的三门青蟹具有“金爪、绯钳、青背、黄肚”的特征，以“壳薄、皆黄、肉嫩、味美”而著称，素有“三门青蟹、横行世界”之美誉；且营养丰富，内含人体所需的18种氨基酸和蛋白质、脂肪、钙、磷、铁等营养成分，被誉为“海中黄金，蟹中臻品”.养殖户一般把重量超过350克的青蟹标记为 $\text{[math]}$ 类青蟹

(1) 现有一个小型养蟹池，已知蟹池中有50只青蟹，其中 $\text{[math]}$ 类青蟹有7只，若从池中抓了2只青蟹，用 $\text{[math]}$ 表示其中 $\text{[math]}$ 类青蟹的只数，请写出 $\text{[math]}$ 的分布列，并求 $\text{[math]}$ 的数学期望 $\text{[math]}$ ；

(2) 另有一个养蟹池，为估计蟹池中的青蟹数目 $\text{[math]}$ ，小王先从中抓了50只青蟹，做好记号后放回池中，过了一段时间后，再从中抓了20只青蟹，发现有记号的有 $\text{[math]}$ 只，若 $\text{[math]}$ ，试给出蟹池中青蟹数目 $\text{[math]}$ 的估计值（以使 $\text{[math]}$ 取得最大值的 $\text{[math]}$ 为估计值）.

解答题普通