如图1，线段，，点E，F分别是，的中点．

1. 如图1，线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E，F分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长度．

(2) 当线段 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动时，试判断线段 $\text{[math]}$ 的长度是否发生变化？如果不变，求出 $\text{[math]}$ 的长度；如果变化，请说明理由．

(3) 我们发现角的很多规律和线段一样，如图2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别平分 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

【考点】

角的运算; 角平分线的性质; 线段的中点; 线段的和、差、倍、分的简单计算;

【答案】

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计算题普通

1. 综合与实践

问题情境

在数学活动课上，老师和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动，发现线段的中点的概念与角的平分线的概念类似，甚至它们在计算的方法上也有类似之处，它们之间的题目可以转换，解法可以互相借鉴．如图1，点C是线段AB上的一点，M是AC的中点，N是BC的中点．

（1）问题探究

①若AB=6，AC=2，求MN的长度．（写出计算过程）

②若AB=a，AC=b，则MN=　　　　．（直接写出结果）

（2）继续探究

“创新”小组的同学类比想到：如图2，已知∠AOB=70°，在角的内部作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的角平分线OM，ON．

③若∠AOC=20°，求∠MON的度数．（写出计算过程）

④若∠AOC=m，则∠MON=　　　　．（直接写出结果）

（3）深入探究

“慎密”小组在“创新”小组的基础上提出：如图3，若∠AOB=n，在角的外部作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的角平分线OM，ON，若∠AOC=m，则∠MON=　　　　．（直接写出结果）

计算题普通

2. 如图1，将直角三角板 $\text{[math]}$ 中一个 $\text{[math]}$ 角的顶点O放置在直线 $\text{[math]}$ 上．

(1) 若按照图2摆放，使边 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内部，且 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ______度；

(2) 若按照图3摆放，射线 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 度数关系，并说明理由；

(3) 若三角板边 $\text{[math]}$ 与射线 $\text{[math]}$ 重合时（如图4），三角板在直线 $\text{[math]}$ 上绕点O逆时针旋转运动（ $\text{[math]}$ 边始终在 $\text{[math]}$ 内）， $\text{[math]}$ ，在旋转过程中，试探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间满足什么等量关系，并说明理由．

计算题普通

3. 如图所示，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长度；

(2) 若点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，求 $\text{[math]}$ 的长度．

计算题普通