小星在学习北师大版数学教材九年级上册第26页第6题时，设计了如下“教材迁移”为主题的问题，请你解答.

1. 小星在学习北师大版数学教材九年级上册第26页第6题时，设计了如下“教材迁移”为主题的问题，请你解答.

(1) 课本再现

如图(1)，四边形ABCD是一个正方形， $\text{[math]}$ 是BC延长线上一点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为 ▲ ；

(2) 变式探究

如图(2)，将(1)中的 $\text{[math]}$ 沿AE折叠，得到 $\text{[math]}$ ，延长CD交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 延伸拓展

如图(3)，当点 $\text{[math]}$ 在射线BC上运动时，把(2)中的正方形ABCD变为矩形ABCD，且 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 与AE交于点 $\text{[math]}$ ，连接DP.探究：当EC的长为多少时，D，P两点间的距离最短?并求出最短距离.

【考点】

圆内接四边形的性质; 四边形的综合; 相似三角形的判定-AA; 相似三角形的性质-对应边; 圆周角定理的推论;

【答案】

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实践探究题困难

1. 综合探究

在边长为5的正方形 $\text{[math]}$ 中，点E是线段 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边在直线 $\text{[math]}$ 右侧作正方形 $\text{[math]}$ ．

(1) 如题-1图，若EF与CD交于点H ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 在（1）的条件下，连接 $\text{[math]}$ ，求证：C ， D ， G三点共线；

(3) 如图-2图，若点E是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．

实践探究题困难

2. 我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．

(1) 在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是（填序号）；

(2) 如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE ，过点B作BG⊥AE于点H ，交CD于点G ，连AG、EG ．

①求证：四边形ABEG是“神奇四边形”；

②如图2，点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点．试判断四边形MNPQ是不是“神奇四边形”；

(3) 如图3，点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A ，过点A作AO⊥FR于点O ，若AB'＝2，正方形的边长为6，求线段OF的长．

实践探究题普通

3. 应用与探究

【情境呈现】

在一次数学兴趣小组活动中，小明同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．他把三角板 $\text{[math]}$ 固定好后，将三角板 $\text{[math]}$ 从图1所示的位置开始绕点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转，每秒转动 $\text{[math]}$ ，设转动时间为 $\text{[math]}$ 秒 $\text{[math]}$ ．

(1) 【问题应用】请直接写出图1中线段 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 如图2，在三角板 $\text{[math]}$ 旋转的过程中，连接 $\text{[math]}$ ，当四边形 $\text{[math]}$ 是矩形时，求 $\text{[math]}$ 值；

(3) 【问题探究】如图3，在三角板 $\text{[math]}$ 旋转的过程中，取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是否存在最大值？若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的最大值，并直接写出此时的 $\text{[math]}$ 值：若不存在，请说明理由．

实践探究题困难