如图，在中，是的中点，连结并延长，交的延长线于点，连结 .

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1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，连结 $\text{[math]}$ 并延长，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ .

(1) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形.

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积.

【考点】

等腰三角形的性质; 勾股定理; 平行四边形的性质; 菱形的判定; 几何图形的面积计算-割补法;

【答案】

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解答题普通

1. 勾股定理是数学史上的两个宝藏之一，小亮在学习完本章知识后，他和星源数学社的其他成员进行了有关知识的探索．请你根据他们的思路完成下列各项内容：

问题解决：如下图 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，分别以其三边向形外作正方形，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ______．

变式探究：

（1）如下图，若以 $\text{[math]}$ 的三边向形外作等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的关系为______．

（2）如下图，若分别以三边为直径向形外作半圆，则 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的关系为______．

拓展应用：如下图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，分别以它的三边向形外作平行四边形， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于P，交 $\text{[math]}$ 于N，且 $\text{[math]}$ ，若平行四边形 $\text{[math]}$ 和平行四边形 $\text{[math]}$ 的面积分别为10和8，则平行四边形 $\text{[math]}$ 的面积为______．

解答题普通

2. （1）如图1，平行四边形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 的面积与 $\text{[math]}$ 有关，当 $\text{[math]}$ 有最值(填“大”、“小”)时，四边形 $\text{[math]}$ 的面积有最值(填“大”、“小”)．

（2）如图2， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．

问题解决

（3）如图3，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值．