在学习七下课本121页“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学．

1. 在学习七下课本121页“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学．

(1) 【问题原型】定理：等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．根据图形1用几何语言写出该定理

①∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，

∴ ，；

②在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的周长为32， $\text{[math]}$ 的周长为23，则 $\text{[math]}$ 的长为．

(2) 【问题提出】罗老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后罗老师发现了同学们有以下两种解题思路，请任选其中一种，完成命题的证明．

已知：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，且点D是 $\text{[math]}$ 的中点．求证： $\text{[math]}$ ．

方法一：如图2，延长 $\text{[math]}$ 到点E，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

方法二：如图3，过点D分别作 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足分别为E，F．

(3) 【拓展延伸】如图4，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，点E为 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点F，过点B作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 延长线于点H，设 $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 的最大值．

【考点】

垂线段最短及其应用; 三角形全等及其性质; 三角形全等的判定; 等腰三角形的判定与性质;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，在△ABC中，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，AE＝CE，请判断AB与CF是否平行？并说明你的理由.

解答题普通

2. 如图1，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 如图2，连接 $\text{[math]}$ ，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有全等三角形（不包括已知全等三角形）

解答题普通

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点E，且 $\text{[math]}$ ．试说明： $\text{[math]}$ ．

解答题普通