【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题：

1. 【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题：

(1) 如图-1所示，已知 $\text{[math]}$ ，点E为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为；

(2) 【类比迁移】如图-2所示，已知 $\text{[math]}$ ，点E为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间一点， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的平分线相交于点F，若 $\text{[math]}$ ，请用含α的式子表示 $\text{[math]}$ ；

(3) 【变式挑战】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图-3所示，已知 $\text{[math]}$ ，点E的位置移到 $\text{[math]}$ 上方，点F在 $\text{[math]}$ 延长线上， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的平分线相交于点G，请猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由．

【考点】

平行线的性质; 三角形的外角性质; 角平分线的性质; 平行公理的推论;

【答案】

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实践探究题困难

1. 如图1，已知 $\text{[math]}$ ， C为射线 $\text{[math]}$ 上一点(不与点A 重合)，连接 $\text{[math]}$

【发现】如图2过点C作 $\text{[math]}$

（1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

【探究】直接写出图1中 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的数量关系：；

【拓展】利用【探究】中的结论完成下列问题．

如图3， $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 上一点(不与点A 重合)，在射线 $\text{[math]}$ 上取一点O，过点O作直线 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G，当点C沿着射线 $\text{[math]}$ 方向运动时， $\text{[math]}$ 的度数是否会变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个不变的值．

实践探究题普通

2. 综合与实践

【问题情境】

在综合与实践课上，同学们以“一个含 $\text{[math]}$ 的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知两直线a，b且 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）在图1中， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

【深入探究】

（2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把 $\text{[math]}$ 的位置改变，发现 $\text{[math]}$ ，请说明理由；

【拓展应用】

（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，此时发现 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 又存在新的数量关系，请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系．

实践探究题普通

3. 如图， $\text{[math]}$ ，定点E，F分别在直线 $\text{[math]}$ 上，在平行线 $\text{[math]}$ 之间有一动点P，满足 $\text{[math]}$ ．

(1) 试问 $\text{[math]}$ 满足怎样的数量关系？

解：由于点P是平行线 $\text{[math]}$ 之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：

如图1，当P点在 $\text{[math]}$ 的左侧时， $\text{[math]}$ 满足数量关系为，

如图2，当P点在 $\text{[math]}$ 的右侧时， $\text{[math]}$ 满足数量关系为．

(2) 如图3， $\text{[math]}$ 分别平分 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，且点P在 $\text{[math]}$ 左侧．

①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 　　．

②猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；

③如图4，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的角平分线交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的角平分线交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的角平分线交于点 $\text{[math]}$ ；此次类推，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 满足怎样的数量关系？（直接写出结果）

(3) 【拓展应用】如图5，已知 $\text{[math]}$ ，点E在直线 $\text{[math]}$ 上，点P在直线 $\text{[math]}$ 上方，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的角平分线与 $\text{[math]}$ 的角平分线所在直线交于点Q，则 $\text{[math]}$ ＝　　°．

实践探究题困难