综合与实践台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，它能够集中光线，使得周围环境适合于阅读、学习或工作，对于保护眼睛健康也具有重要意义．如图1是一盖可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，底座MN位于水平位置，支架、为固定支撑杆，支架可绕点旋转，从而调节灯光照射方向．已知灯体顶角，的平分线始终与垂直．

1. 综合与实践

台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，它能够集中光线，使得周围环境适合于阅读、学习或工作，对于保护眼睛健康也具有重要意义．如图1是一盖可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，底座MN位于水平位置，支架 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为固定支撑杆，支架 $\text{[math]}$ 可绕点 $\text{[math]}$ 旋转，从而调节灯光照射方向．已知灯体顶角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 始终与 $\text{[math]}$ 垂直．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的度数：

(2) 如图2，当支架 $\text{[math]}$ 旋转至水平位置时， $\text{[math]}$ 恰好与 $\text{[math]}$ 平行，求支架 $\text{[math]}$ 与水平方向夹角 $\text{[math]}$ 的度数；

(3) 若（2）中支架 $\text{[math]}$ 与水平方向的夹角 $\text{[math]}$ 的度数保持不变，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转到如图3的位置，旋转后 $\text{[math]}$ ，求此时 $\text{[math]}$ 与水平方向 $\text{[math]}$ 的夹角 $\text{[math]}$ 的度数．

【考点】

垂线的概念; 平行公理及推论; 平行线的性质; 角平分线的性质;

【答案】

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实践探究题普通

1. 已知直线 $\text{[math]}$ ，点A在直线 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 为平面内两点， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，当点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上方时， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点D ，则 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的数量关系是；

(2) 如图2，当点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上且在点A左侧，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间时，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，说明 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系；

(3) 如图3，当点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上且在点A左侧，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 下方时，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 的平分线交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求出 $\text{[math]}$ 的度数．

实践探究题困难

2. 在物理学中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．

如图1，一束光线 $\text{[math]}$ 射到平面镜 $\text{[math]}$ 上，被 $\text{[math]}$ 反射后的光线为 $\text{[math]}$ ，则入射光线 $\text{[math]}$ 、反射光线 $\text{[math]}$ 与平面镜 $\text{[math]}$ 所夹的锐角 $\text{[math]}$ ．

(1) 【简单应用】

如图2，有一口井，已知入射光线 $\text{[math]}$ 与水平线 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，现放置平面镜 $\text{[math]}$ ，可使反射光线 $\text{[math]}$ 正好垂直照射到井底（即射线 $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ 与水平线的夹角 $\text{[math]}$ 的度数为．

(2) 【类比拓展】

如图3，有两块平面镜 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，入射光线 $\text{[math]}$ 经过两次反射，得到反射光线 $\text{[math]}$ ．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即： $\text{[math]}$ ．在这样的条件下，求证： $\text{[math]}$ ．

(3) 【尝试探究】

两块平面镜 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，入射光线 $\text{[math]}$ 经过两次反射，得到反射光线 $\text{[math]}$ ．如图4，光线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数是多少？（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）（三角形内角和 $\text{[math]}$ ）

实践探究题普通

3. 【感知】如图①， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的度数为______．

【探究】如图②， $\text{[math]}$ ，点P在射线 $\text{[math]}$ 上运动， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

（1）当点P在线段 $\text{[math]}$ 上运动时，试探究 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

（2）当点P在线段C，D两点外侧运动时（点P与点C，D，O三点不重合），直接写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系为______．

实践探究题普通