已知，如图，点在、两线之间，且在所在直线的左侧．

1. 已知，如图，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两线之间，且在 $\text{[math]}$ 所在直线的左侧．

(1) 如图1，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，

①若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ________；

②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ________；

③若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ________．

(2) 如图2，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交，点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ 重合时，猜想 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由；

(3) 如图3，直接运用（2）的结论探究下列问题：

①若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的度数；

②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的度数．

【考点】

角的运算; 平行线的性质; 角平分线的性质;

【答案】

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证明题困难

1. 完成下面的证明过程．

已知：如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．

求证： $\text{[math]}$ ．

证明：∵ $\text{[math]}$ （已知），

∴ $\text{[math]}$ （ _________________________ ）．

∵ $\text{[math]}$ （已知），

∴ $\text{[math]}$ ________ $\text{[math]}$ （ ___________________________ ）．

又∵ $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ （已知），

∴ $\text{[math]}$ （角平分线的定义），

∴ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．

证明题普通

2. 如图，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点P是射线 $\text{[math]}$ 上一动点（与点A不重合）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别平分 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，且分别交射线 $\text{[math]}$ 于点C、D．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的度数．

(2) 当点P运动时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．

(3) 当点P运动到使 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的度数．

证明题普通

3. 动点探究题

(1) 如图一， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 度，求 $\text{[math]}$ 的度数．小明的思路是过点P做 $\text{[math]}$ ，通过平行线的性质来求 $\text{[math]}$ 的度数．请你按小明的思路求 $\text{[math]}$ 的度数．

(2) 问题迁移：如图二， $\text{[math]}$ ，点P在直线OM上运动，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求当点P在B、D两点之间运动时，问 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间有何数量关系，请说明理由．

(3) 如图3， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 垂直于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系．

证明题困难