如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上，从点至点运动，连接，以为边作等边，点和点分别位于两侧．

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1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，从点 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ 运动，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边作等边 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 分别位于 $\text{[math]}$ 两侧．

(1) 当点 $\text{[math]}$ 运动到点 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上从点 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ 运动过程中，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

【考点】

等边三角形的判定与性质; 勾股定理; 矩形的性质; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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计算题困难

1. 阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图①，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于D、E，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 的值．

小明发现，过点E作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点F，构造 $\text{[math]}$ ，经过推理得到 $\text{[math]}$ ，再计算就能够使问题得到解决（如图②）．

(1) 请你帮小明回答： $\text{[math]}$ 的值为．

(2) 参考小明思考问题的方法，请你解决如下问题：

如图③，已知 $\text{[math]}$ 和矩形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点G， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

计算题普通

2. 如图所示，折叠长方形 $\text{[math]}$ 的一边 $\text{[math]}$ ，使点D落在 $\text{[math]}$ 边的点F处， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

计算题普通

3. 综合与实践：构图法求三角形的面积

问题提出	在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三边的长分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．
素材1	某数学兴趣小组发现，如果运用三角形面积公式 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为底 $\text{[math]}$ 边， $\text{[math]}$ 为对应的高）求解，那么高 $\text{[math]}$ 的计算较为复杂，进一步观察发现 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若把 $\text{[math]}$ 放到图 $\text{[math]}$ 的正方形网格中（每个小正方形的边长为 $\text{[math]}$ ），且 $\text{[math]}$ 的三个顶点恰好都在小正方形的顶点处，这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出 $\text{[math]}$ 的面积．这种借助网格计算面积的方法称为“构图法”．
素材2	某园艺公司对一块三角形花圃 $\text{[math]}$ 进行改造，如图 $\text{[math]}$ 所示，分别以原花圃的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边向外扩建正方形花圃 $\text{[math]}$ ，正方形花圃 $\text{[math]}$ ，并增加三角形花圃 $\text{[math]}$ ，将原花圃改造为六边形 $\text{[math]}$ ．
任务1	（1）请直接写出图 $\text{[math]}$ 中的三角形面积___．
任务2	（2）已知 $\text{[math]}$ 三边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请利用图 $\text{[math]}$ 的正方形网格（每个小正方形的边长为 $\text{[math]}$ ）画出相应的 $\text{[math]}$ ，并求出它的面积．
任务3	（3）若三角形花圃的边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求改造后的六边形花圃 $\text{[math]}$ 的面积．

计算题普通