如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．

1. 如图，正三棱柱的所有棱长都为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点．

(1) 求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值；

(3) 求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离．

【考点】

空间向量的夹角与距离求解公式; 用空间向量研究直线与平面的位置关系; 用空间向量研究二面角;

【答案】

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解答题普通

1. 如图所示，在直四棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面ABCD是菱形， $\text{[math]}$ ， M ， N分别为 $\text{[math]}$ ， AD的中点．

(1) 证明： $\text{[math]}$ 平面BDM ．

(2) 求平面BDM与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值．

解答题普通

2. 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中，E ， F分别为 $\text{[math]}$ ， AB的中点，点G在DC的延长线上，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．

(2) 求平面 $\text{[math]}$ 与平面DEF的夹角的余弦值．

解答题普通

3. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值；

(2) 在棱 $\text{[math]}$ 上确定一点 $\text{[math]}$ ，使异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的大小为 $\text{[math]}$ ，并求此时点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离.

解答题普通