某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究．

1. 某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究．

(1) 小王获得了以下信息：

$\text{[math]}$ 教学楼 $\text{[math]}$ 和体育馆 $\text{[math]}$ 之间有一条笔直的步道 $\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$ 在步道 $\text{[math]}$ 上有一点 $\text{[math]}$ ，测得 $\text{[math]}$ 到教学楼顶 $\text{[math]}$ 的仰角是 $\text{[math]}$ ，到体育馆楼顶 $\text{[math]}$ 的仰角是 $\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$ 从体育馆楼顶 $\text{[math]}$ 测教学楼顶 $\text{[math]}$ 的仰角是 $\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$ 教学楼 $\text{[math]}$ 的高度是 $\text{[math]}$ 米．

请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度 $\text{[math]}$ ．

(2) 小李获得了以下信息：

$\text{[math]}$ 体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是 $\text{[math]}$ 米；

$\text{[math]}$ 大屏幕的高度 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 米；

$\text{[math]}$ 当观众所站的位置 $\text{[math]}$ 到屏幕上下两端 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所张的角 $\text{[math]}$ 最大时，观看屏幕的效果最佳．

请帮助小李完成任务二：求步道 $\text{[math]}$ 上观看屏幕效果最佳地点 $\text{[math]}$ 的位置．

【考点】

基本不等式在最值问题中的应用; 正弦定理的应用; 余弦定理的应用;

【答案】

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解答题普通

1. 某厂家拟定在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用 $\text{[math]}$ 万元满足 $\text{[math]}$ （k为常数）．如果不举行促销活动，该产品的年销量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入将为10万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元（再投入费用不包含促销费用），厂家将每件产品的销售价格定为“平均每件产品的固定投入与再投入”的 $\text{[math]}$ 倍．

(1) 求k的值；

(2) 将2023年该产品的利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；

(3) 该厂家2023年约投入多少万元促销费用时，获得的利润最大，最大利润是多少？（ $\text{[math]}$ ，结果保留1位小数）．

解答题普通

2. 某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，在一年内预计销售量 $\text{[math]}$ 万件 $\text{[math]}$ 与广告费 $\text{[math]}$ 万元 $\text{[math]}$ 之间的关系式为 $\text{[math]}$ 已知生产此产品的年固定投入为 $\text{[math]}$ 万元，每生产 $\text{[math]}$ 万件此产品仍需再投入 $\text{[math]}$ 万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件销售价为“年平均每件生产成本的 $\text{[math]}$ ”与“年平均每件所占广告费的 $\text{[math]}$ ”之和．

(1) 试写出年利润 $\text{[math]}$ 万元 $\text{[math]}$ 与年广告费 $\text{[math]}$ 万元 $\text{[math]}$ 的关系式；

(2) 当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？

解答题普通

3. 双曲函数是一类与三角函数类似的函数，在物理及生活中有着重要应用.称 $\text{[math]}$ 为双曲余弦函数，称 $\text{[math]}$ 为双曲正弦函数.

(1) 若关于x的不等式 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恒成立，求实数m的取值范围；

(2) 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 有2个零点，求实数m的取值范围.

解答题困难