已知二次函数，其中，；

1. 已知二次函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

(1) 若 $\text{[math]}$ 时，

$\text{[math]}$ 二次函数图象经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点中的一个点，求该二次函数解析式；

$\text{[math]}$ 二次函数图象的顶点为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，二次函数图象经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 二次函数y=a（x-h）²+k的图象; 二次函数y=a（x-h）²+k的性质; 二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化;

【答案】

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证明题普通

1. 抛物线y=a $\text{[math]}$ +bx经过点A(4，0)，B(2，2)，连结OB，AB．

(1)求a、b的值；
(2)求证：△OAB是等腰直角三角形；
(3)将△OAB绕点O按顺时针方向旋转l35°得到△OA′B′，写出A′B′的中点P的出标．试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由．

证明题普通

如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，以AB为直径的半⊙O’与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是半⊙O’的切线，AD⊥CD于点D．

（1）求证：∠CAD =∠CAB；
（2）已知抛物线 $\text{[math]}$ 过A、B、C三点，AB=10，tan∠CAD= $\text{[math]}$ ．
① 求抛物线的解析式；
② 判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；
③ 在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形．若存在，直接写出点P的坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由．

证明题困难

如图，直线y＝x＋3与坐标轴分别交于A，B两点，抛物线y＝ax²＋bx－3a经过点A，B，顶点为C，连接CB并延长交x轴于点E，点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称.

（1）求抛物线的解析式及顶点C的坐标；
（2）求证：四边形ABCD是直角梯形.

证明题普通