已知，为单位向量.

1. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为单位向量.

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.

【考点】

基本不等式在最值问题中的应用; 平面向量数量积的性质; 平面向量数量积的坐标表示; 平面向量数量积坐标表示的应用;

【答案】

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解答题普通

1. 某厂家拟定在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用 $\text{[math]}$ 万元满足 $\text{[math]}$ （k为常数）．如果不举行促销活动，该产品的年销量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入将为10万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元（再投入费用不包含促销费用），厂家将每件产品的销售价格定为“平均每件产品的固定投入与再投入”的 $\text{[math]}$ 倍．

(1) 求k的值；

(2) 将2023年该产品的利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；

(3) 该厂家2023年约投入多少万元促销费用时，获得的利润最大，最大利润是多少？（ $\text{[math]}$ ，结果保留1位小数）．

解答题普通

2. 某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，在一年内预计销售量 $\text{[math]}$ 万件 $\text{[math]}$ 与广告费 $\text{[math]}$ 万元 $\text{[math]}$ 之间的关系式为 $\text{[math]}$ 已知生产此产品的年固定投入为 $\text{[math]}$ 万元，每生产 $\text{[math]}$ 万件此产品仍需再投入 $\text{[math]}$ 万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件销售价为“年平均每件生产成本的 $\text{[math]}$ ”与“年平均每件所占广告费的 $\text{[math]}$ ”之和．

(1) 试写出年利润 $\text{[math]}$ 万元 $\text{[math]}$ 与年广告费 $\text{[math]}$ 万元 $\text{[math]}$ 的关系式；

(2) 当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？

解答题普通

3. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ ；

(2) 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求向量 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ 的夹角．

解答题普通