设为坐标原点，定义非零向量的“友函数”为，向量称为函数的“友向量”．

1. 设 $\text{[math]}$ 为坐标原点，定义非零向量 $\text{[math]}$ 的“友函数”为 $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ 称为函数 $\text{[math]}$ 的“友向量”．

(1) 记 $\text{[math]}$ 的“友函数”为 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的单调递增区间 $\text{[math]}$

(2) 设 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的“友向量”模长的最大值 $\text{[math]}$

(3) 已知点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ 的“友函数” $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处取得最大值 $\text{[math]}$ 当点 $\text{[math]}$ 运动时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

【考点】

函数解析式的求解及常用方法; 函数的单调性及单调区间; 一元二次不等式;

【答案】

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解答题困难

1. 已知某公司计划生产一批产品总共 $\text{[math]}$ 万件 $\text{[math]}$ ，其成本为 $\text{[math]}$ (万元/万件)，其广告宣传总费用为4t万元，若将其销售价格定为 $\text{[math]}$ 万元/万件.

(1) 将该批产品的利润 $\text{[math]}$ (万元)表示为 $\text{[math]}$ 的函数；

(2) 当广告宣传总费用为多少万元时，该公司的利润最大?最大利润为多少万元?

解答题普通

2. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 求函数 $\text{[math]}$ 的单调递增区间；

(2) 求函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值和最小值.

解答题普通

3. 某电影院共有1000个座位，票价不分等次，根据影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，票可全售出；当每张票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出，为了获得更好的收益，需给影院定一个合适的票价，需符合的基本条件是：①为了方便找零和算账，票价定为1元的整数倍；②电影院放一场电影的成本费用支出为5750元，票房的收入必须高于成本支出，用x（元）表示每张票价，用y（元）表示该影院放映一场的净收入（除去成本费用支出后的收入）

问：

(1) 把y表示为x的函数，并求其定义域；

(2) 试问在符合基本条件的前提下，票价定为多少时，放映一场的净收人最多？

解答题普通